المسألة الرياضية المعطاة تتعلق بالهايبربولا التي يعطيها المعادلة التالية: 100x2−64y2=1 حيث تمثل $y = \pm mx$ الأسطر المائلة للهايبربولا، حيث يكون $m$ قيمة موجبة. يُطلب منا أن نحدد قيمة $m$.
للبدء، لنلاحظ أن المعادلة المعطاة للهايبربولا تمثل الشكل القياسي للهايبربولا. بالمقارنة مع الشكل القياسي:
a2x2−b2y2=1
نجد أن قيم الـ $a$ و $b$ هي $\sqrt{100} = 10$ و $\sqrt{64} = 8$ على التوالي.
الآن، نعلم أن المعادلة العامة للأسطر المائلة للهايبربولا في الحالة العامة هي $y = \pm \frac{b}{a}x$. بالتالي، يمكننا استنتاج أن الميل $m$ للأسطر المائلة هو نسبة $b$ إلى $a$، أي:
m=ab=108=54
لذا، قيمة $m$ هي $\frac{4}{5}$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة وتحديد قيمة $m$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:
-
المعرفة الأولية للهايبربولا: نعلم أن المعادلة المعطاة 100x2−64y2=1 تمثل هايبربولا بالشكل القياسي، حيث $a = 10$ و $b = 8$.
-
الميل للأسطر المائلة: يُمكننا استخدام الصيغة العامة للميل للأسطر المائلة على الهايبربولا، والتي هي $m = \frac{b}{a}$، حيث $a$ هو القيمة الأفقية لنصف المحور و $b$ هو القيمة الرأسية لنصف المحور.
-
حساب القيم: نعوض $a = 10$ و $b = 8$ في الصيغة، لذا $m = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
-
الاستنتاج: بالتالي، قيمة $m$ للأسطر المائلة للهايبربولا هي $\frac{4}{5}$.
القوانين المستخدمة في الحل هي:
- صيغة الهايبربولا: المستخدمة لتحديد شكل الهايبربولا ومعرفة قيم $a$ و $b$.
- صيغة الميل للأسطر المائلة على الهايبربولا: المستخدمة لحساب الميل للأسطر المائلة على الهايبربولا، والتي تعتمد على قيم $a$ و $b$ لنصف المحور.