معادلة المستقيم للبارابولا (مسألة رياضيات)

معاد كتابة المسألة الرياضية باللغة العربية:

نريد إيجاد معادلة المستقيم المستقيم للنموذج للبارابولا $y = 8x^2 + 2$.

للعثور على المستقيم المستقيم، نحتاج إلى معرفة موضع النقطة التركيزية للبارابولا. في الحالة العامة، يمكننا تمثيل البارابولا في شكلها القياسي $y = ax^2$.

لمعرفة موقع النقطة التركيزية، نحتاج إلى استخراج قيمة $p$ من الشكل القياسي للبارابولا، حيث $p = \frac{1}{4a}$. بما أن $a = 8$ في حالتنا، فإننا نحسب $p = \frac{1}{4 \times 8} = \frac{1}{32}$.

الآن، بمعرفة النقطة التركيزية $(0, \frac{1}{32})$، يمكننا إيجاد المستقيم المستقيم، والذي يكون عموديا على محور $y$ ويكون على بعد $p$ من نقطة التركيزية.

بما أن المستقيم المستقيم يكون عموديا على محور $y$، فإن معادلته ستكون $x = k$، حيث $k$ هو الثابت الذي يمثل موقع المستقيم المستقيم على محور $x$.

ومن المعروف أن المسافة بين نقطة $(x_1, y_1)$ والمستقيم $x = k$ هي متساوية للمسافة بين النقطة ونقطة التركيز $(0, \frac{1}{32})$، وبما أن المستقيم متعامد مع محور $y$، فإن المسافة تكون مجرد فارق بين القيمتين $x_1 – k$ و $|\frac{1}{32} – y_1|$.

إذاً، المسافة بين النقطة $(x_1, y_1)$ ونقطة التركيز هي $|x_1 – k| = |\frac{1}{32} – y_1|$.

نقوم بحساب القيمة المطلقة ونعوض بالقيم المعروفة، وهي $x_1$ و $y_1$ و $\frac{1}{32}$.

بالتالي، المعادلة تصبح: $|x – k| = |\frac{1}{32} – (8x^2 + 2)|$.

والآن، نستخدم النقطة $(0, \frac{1}{32})$ كمرجع للحساب، حيث يصبح المعادلة: $|x – k| = |\frac{1}{32} – (8x^2 + 2)|$.

نعوض بقيمة $x = 0$ و $y = \frac{1}{32}$، ونحسب $k$.

$|0 – k| = |\frac{1}{32} – (8 \times 0^2 + 2)|$

$| – k| = |\frac{1}{32} – 2|$

$| – k| = | – \frac{63}{32}|$

منه نجد أن $k = \frac{63}{32}$.

إذاً، المعادلة النهائية للمستقيم المستقيم (المستقيم المتعامد على محور $y$ ويمر عبر النقطة التركيزية) هي $x = \frac{63}{32}$.

لحل مسألة إيجاد معادلة المستقيم المستقيم للبارابولا $y = 8x^2 + 2$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بشرح هذه القوانين وكيف تم تطبيقها في الحل:

1. معادلة البارابولا العامة: تعطى البارابولا بمعادلة $y = ax^2$ حيث $a$ هو معامل البارابولا.

2. النقطة التركيزية: توجد عند $(0, \frac{1}{4a})$، حيث $a$ هو معامل البارابولا.

3. المستقيم المستقيم (المستقيم المستقيم): هو المستقيم الذي يمر عبر نقطة التركيز ويكون عموديًا على محور $y$.

4. المسافة من نقطة إلى مستقيم: المسافة بين نقطة ومستقيم تساوي الفارق بين إحداثيات النقطة وموقع المستقيم.

5. قانون معادلة المستقيم: في حالة المستقيم المتعامد على محور $y$، فإن معادلته تأخذ شكل $x = k$، حيث $k$ هو الإحداثي الثابت لموقع المستقيم على محور $x$.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بالخطوات التالية:

1. نحسب النقطة التركيزية للبارابولا باستخدام القانون (2): $\frac{1}{4a}$ حيث $a = 8$.
   لذا، نقوم بحساب $\frac{1}{4 \times 8} = \frac{1}{32}$.
   وبالتالي، النقطة التركيزية هي $(0, \frac{1}{32})$.

2. نحدد المستقيم المستقيم الذي يمر عبر النقطة التركيزية ويكون عموديًا على محور $y$ باستخدام القانون (4).
   لذا، معادلة المستقيم ستكون $x = k$.

3. نستخدم قانون المسافة بين النقطة والمستقيم لتحديد موقع المستقيم على محور $x$.
   المسافة بين النقطة والمستقيم تكون مساوية لفارق الإحداثيات بين النقطة وموقع المستقيم.

4. بالتعويض في معادلة المسافة بالإحداثيات المعروفة للنقطة والمعادلة المعروفة للمستقيم، نستطيع حساب القيمة المطلوبة لموقع المستقيم على محور $x$.

5. بعد الحسابات، نجد أن موقع المستقيم على محور $x$ هو $\frac{63}{32}$.

6. وبالتالي، معادلة المستقيم المستقيم هي $x = \frac{63}{32}$.

هذه هي الخطوات التي تم اتباعها لحل المسألة، مع استخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المعروفة في الهندسة الرياضية والجبر.