مسائل رياضيات

مساحة مثلث DBC: الحل والتحليل (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن DD و EE هما نقطتا منتصف الضلعين AB\overline{AB} و BC\overline{BC} على التوالي في المثلث ABC\triangle ABC، فإن نقطة DD تقع على الضلع AB\overline{AB} ونقطة EE تقع على الضلع BC\overline{BC}. بالتالي، نعلم أن الضلع AD\overline{AD} يمثل نصف طول الضلع AB\overline{AB}، وكذلك الضلع BE\overline{BE} يمثل نصف طول الضلع BC\overline{BC}.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم المثلثات المتطابقة. إذاً، نعلم أن المثلثات ADE\triangle ADE و CBE\triangle CBE متطابقتان بناءً على خاصية المثلثات المتطابقة لهما لكون لديهما زوايا وضلوع متساوية.

المعلومات الأساسية:

  • AD=DBAD = DB (لأن DD هو منتصف ABAB)
  • BE=ECBE = EC (لأن EE هو منتصف BCBC)
  • ADE=CBE\angle ADE = \angle CBE (نظرًا لأن الزاويتين المتقابلتين لنقاط المثلثات المتطابقة متساويتان)

بالنظر إلى المثلث DBC\triangle DBC، نرى أنه متكون من المثلثات المتطابقة ADE\triangle ADE و CBE\triangle CBE والذي يشتركان في الزاوية DEC\angle DEC. بالتالي، نلاحظ أنهما متطابقتان تمامًا.

الآن، لنحسب مساحة المثلث DBC\triangle DBC، نحسب مساحة المثلث ADE\triangle ADE ونضربها في 2 لأنهما متطابقتان.

لحساب مساحة ADE\triangle ADE، نستخدم القاعدة التالية: مساحة المثلث = 12×\frac{1}{2} \times القاعدة ×\times الارتفاع.

القاعدة: طول الضلع ABAB وهو 66 (الفارق بين الإحداثيات 60=66 – 0 = 6).
الارتفاع: طول الضلع ECEC وهو 44 (الفارق بين الإحداثيات 84=48 – 4 = 4).

إذاً، مساحة ADE=12×6×4=12\triangle ADE = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 متر مربع.

المساحة الكلية لمثلث DBC=2×12=24\triangle DBC = 2 \times 12 = 24 متر مربع.

المزيد من المعلومات

لحل مسألة حساب مساحة مثلث DBCDBC بناءً على المعلومات المقدمة في الرسم، يتعين علينا استخدام مفاهيم الهندسة الأساسية والقوانين المتعلقة بالمثلثات. سنقوم بتحليل الرسم وتطبيق القوانين التالية:

  1. قانون منتصف الضلع:
    إذا كانت DD وEE نقط منتصف الضلعين ABAB وBCBC على التوالي، فإن طول الضلع ADAD يساوي طول الضلع DBDB، وكذلك طول الضلع BEBE يساوي طول الضلع ECEC.

  2. مفهوم المثلثات المتطابقة:
    إذا كانت لدينا زاويتين متساويتين وضلوع متساوية في مثلثين، فإن المثلثين متطابقين.

الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نرى أن DD هو نقطة منتصف الضلع ABAB، لذا طول الضلع ADAD يساوي طول الضلع DBDB. بالمثل، نقاط EE وFF هي نقاط منتصف الضلع BCBC وACAC على التوالي.

الآن، نريد حساب مساحة المثلث DBCDBC. لكن لدينا معلومات عن المثلثات المتطابقة ADEADE وCBECBE ونعلم أنهما متطابقتان.

لحساب مساحة المثلث ADEADE، نستخدم القاعدة التالية:
مساحة المثلث=12×القاعدة×الارتفاع\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}

حيث القاعدة هي الطول ABAB والارتفاع هو الطول ECEC.

بما أن AB=6AB = 6 وEC=4EC = 4، إذاً:
مساحة ADE=12×6×4=12\text{مساحة } \triangle ADE = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12

الآن، نضاعف هذه المساحة لأننا نعلم أن المثلث DBCDBC يتألف من مثلثين متطابقين:
مساحة DBC=2×12=24\text{مساحة } \triangle DBC = 2 \times 12 = 24

لذا، مساحة المثلث DBCDBC تساوي 2424 وحدة مربعة.