مساحة دائرة محيطة بمثلث متساوي الأضلاع (مسألة رياضيات)

من المعلومات المعطاة، نعلم أن لدينا مثلث متساوي الأضلاع مع طول ضلع يبلغ 9 وحدات. يُطلق اسم $R$ على شعاع الدائرة التي تكون محيطة بالمثلث المتساوي الأضلاع.

إذا كانت طول ضلع المثلث 9 وحدات، فإن طول القطر يكون مساويًا للضلع ضربًا في جذر 3، وذلك بناءً على خاصية المثلث المتساوي الأضلاع. لذا، القطر يكون:

$\text{القطر} = 9 \times \sqrt{3}$

وبما أن نصف القطر يكون نصف طول القطر، فإن نصف القطر يساوي:

$\text{نصف القطر} = \frac{9 \times \sqrt{3}}{2}$

وعليه، نعلم أن مساحة الدائرة تُعطى بواسطة الصيغة:

$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times (\text{نصف القطر})^2$

نستبدل القيم بما لدينا:

$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times \left( \frac{9 \times \sqrt{3}}{2} \right)^2$

$= \pi \times \left( \frac{81 \times 3}{4} \right)$

$= \pi \times \left( \frac{243}{4} \right)$

$= \frac{243 \pi}{4}$

لذا، مساحة الدائرة تساوي $\frac{243 \pi}{4}$ وحدة مربعة.

في هذه المسألة، نستخدم بعض القوانين الهندسية والعلاقات الرياضية لحساب مساحة الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الأضلاع.

1. خاصية المثلث المتساوي الأضلاع: هي خاصية تقول إن جميع أضلاع المثلث متساوية في الطول وجميع زوايا المثلث متساوية في القيمة.

2. قانون طول الضلع في المثلث المتساوي الأضلاع: في المثلث المتساوي الأضلاع، طول الضلع يكون متساوياً مع القطر الموازي للمثلث.

3. مساحة الدائرة: تُحسب بالصيغة $\pi \times r^2$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

لحساب مساحة الدائرة المحيطة بالمثلث المتساوي الأضلاع، نحتاج إلى معرفة طول القطر. ولأن المثلث متساوي الأضلاع، فإنه يمكن تقسيم الثلاث زوايا المثلث إلى زوايا متساوية بواقع $60^\circ$ لكل زاوية.

بما أن الزاوية الداخلية في دائرة تقوم بإنشاء قوس يعادل ضعف قيمة الزاوية الداخلية المركزية، فإنه يمكننا قسم المثلث المتساوي الأضلاع إلى ثلاث مثلثات متساوية، كل منها يحتوي على زاوية مركزية قيمتها $120^\circ$.

نحتاج إلى استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب طول القطر. يتضمن الحل إيجاد نصف القطر، ومن ثم استخدامه لحساب مساحة الدائرة.

باختصار، الحل يعتمد على فهم خواص المثلث المتساوي الأضلاع وتطبيقها بالإضافة إلى استخدام العلاقات الهندسية الأساسية لحساب مساحة الدائرة.