مساحة المنطقة المظللة: حل هندسي مبسط

في الشكل المعطى أدناه، تمثل أبج وسيدي اثنين من الأقواس النصف دائرية المتطابقتين، حيث يكون نصف قطر كل دائرة يساوي 2 وحدة. نقطتا ب ود تمثلان منتصفين للأقواس أبج وسيدي على التوالي. الهدف هو حساب مساحة المنطقة المظللة في الشكل.

لحساب مساحة المنطقة المظللة، يمكننا البدء بحساب مساحة القطاع الدائري الكلي لكل دائرة، ثم نقوم بطرح مساحة المثلث الذي تكون قاعدته جزء من المحيط الدائري.

مساحة القطاع الدائري = (زاوية القطاع / 360) × مساحة الدائرة
نظرًا لأن الأقواس هي نصف دائرة، نكون الزاوية المركزية للقطاع الدائري 180 درجة.

إذاً، مساحة القطاع الدائري لكل دائرة هي:
مساحة القطاع = (180 / 360) × π × (نصف القطر)²

نعمل الآن على حساب مساحة المثلث، حيث يكون القاعدة تمثل الجزء الخارجي من المحيط الدائري والذي يساوي القطر للدائرة.

مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع

وبما أن القاعدة هي القطر (نصفي الدائرة)، يكون الارتفاع هو نصف القطر (نصف نصف الدائرة).

الآن، نقوم بحساب مساحة المنطقة المظللة عن طريق طرح مساحة المثلث من مساحة القطاع لكل دائرة، ونضرب النتيجة في 2 (نظرًا للأقواس المتطابقة).

المساحة المظللة = (2 × مساحة القطاع) – (2 × مساحة المثلث)

لنقم بحساب مساحة المنطقة المظللة في هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية ونستخدم بعض القوانين الهندسية:

1. حساب مساحة القطاع الدائري:
   قانون مساحة القطاع الدائري يُعطى بالصيغة:
   $\text{مساحة القطاع} = \frac{\text{زاوية القطاع}}{360} \times \pi \times (\text{نصف القطر})^2$
   في هذه الحالة، الزاوية المركزية للأقواس هي 180 درجة.

2. حساب مساحة المثلث:
   قانون مساحة المثلث يُعطى بالصيغة:
   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
   حيث القاعدة تكون هنا القطر (نصفي الدائرة)، والارتفاع هو نصف القطر.

3. حساب المساحة المظللة:
   $\text{المساحة المظللة} = (2 \times \text{مساحة القطاع}) – (2 \times \text{مساحة المثلث})$
   نقوم بضرب مساحة القطاع في 2 لأن هناك اثنين من الأقواس المتطابقة.

الآن سنقوم بتفصيل الحسابات:

1. مساحة القطاع:
   $\text{مساحة القطاع} = \frac{180}{360} \times \pi \times (2)^2 = \pi\ \text{وحدة مربعة}$

2. مساحة المثلث:
   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times (2) \times (1) = 1\ \text{وحدة مربعة}$

3. المساحة المظللة:
   $\text{المساحة المظللة} = (2 \times \pi) – (2 \times 1) = 2\pi – 2\ \text{وحدة مربعة}$

إذاً، المساحة المظللة في هذا الشكل هي $2\pi – 2$ وحدة مربعة.