مركز دائرة: حساب الإحداثيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد أن نحدد إحداثيات مركز الدائرة الموصوفة بالمعادلة التالية: $9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$.

الحل:

لحساب إحداثيات مركز الدائرة، يجب تماما استكمال مربعي النوعية للمعادلة الكاملة.

نبدأ بتجميع المصطلحات المتشابهة معًا في المعادلة:

$9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$

نلاحظ أن المصطلحات تتوزع بين $x$ و $y$، لذلك سنقوم بتقسيم المعادلة إلى جزئين، وذلك عبر تجميع المصطلحات المتشابهة:

$(9x^2 – 18x) + (9y^2 + 36y) + 44 = 0$

الآن، سنقوم بإكمال المربع النوعي لكل جزء من المعادلة.

للجزء الأول $(9x^2 – 18x)$، نحتاج إلى إيجاد مربعٍ كاملٍ متكامل لهذا الجزء. سنقوم بالخطوات التالية:

1. نقوم بتقسيم المعامل الثانوي لـ $x$ على 2، ثم نرفع الناتج إلى السلبية.

$9x^2 – 18x = 9(x^2 – 2x)$

2. نضيف مربع التعويض الذي يكون $(-\frac{2}{2})^2 = 1$ داخل القوس.

$9(x^2 – 2x + 1 – 1) = 9((x – 1)^2 – 1)$

نفتح القوس:

$9(x – 1)^2 – 9$

الآن، لدينا الجزء الأول من المعادلة بصورة كاملة.

للجزء الثاني $(9y^2 + 36y)$، سنتبع نفس الخطوات:

1. نقوم بتقسيم المعامل الثانوي لـ $y$ على 2، ثم نرفع الناتج إلى السلبية.

$9y^2 + 36y = 9(y^2 + 4y)$

2. نضيف مربع التعويض الذي يكون $(\frac{4}{2})^2 = 4$ داخل القوس.

$9(y^2 + 4y + 4 – 4) = 9((y + 2)^2 – 4)$

نفتح القوس:

$9(y + 2)^2 – 36$

الآن، لدينا الجزء الثاني من المعادلة بصورة كاملة.

نرتب المعادلة مرة أخرى:

$9(x – 1)^2 + 9(y + 2)^2 – 9 – 36 + 44 = 0$

$9(x – 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 1$

الآن، المعادلة في الشكل القياسي لمعادلة دائرة بمركز $(h, k)$ ونصف قطر $r$:

$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

نلاحظ أنه يمكننا كتابة المعادلة كما يلي:

$\frac{(x – 1)^2}{\frac{1}{9}} + \frac{(y + 2)^2}{\frac{1}{9}} = 1$

وبمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة القياسية للدائرة، نجد أن مركز الدائرة هو $(1, -2)$.

وبالتالي، فإن إحداثيات مركز الدائرة الموصوفة بالمعادلة المعطاة هي $(1, -2)$.

لحل المسألة وتحديد إحداثيات مركز الدائرة الموصوفة بالمعادلة $9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$، سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات والقوانين المهمة في الجبر والهندسة الفراغية. القوانين التي سنستخدمها تتضمن:

1. مربع النوعية الكامل: استخدام تقنية مربع النوعية الكامل لإكمال المربع.

2. معادلة دائرة بالشكل العام: المعادلة العامة لدائرة في الفراغ الأوروبي.

الآن، سنقوم بتفصيل الخطوات التي نحتاجها لحل هذه المسألة بالتفصيل:

1. تجميع المصطلحات المتشابهة: نقوم بجمع المصطلحات المتشابهة معًا في المعادلة العامة للدائرة.

$9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$

2. إكمال المربع النوعي لـ $x$ و $y$: نقوم بتطبيق مربع النوعية الكامل لكل من $x$ و $y$ لإكمال المربع.

3. تحويل المعادلة إلى شكل معين لدائرة: بعد إكمال المربع، نقوم بتنظيم المعادلة لتظهر بشكل الدائرة العامة:
   $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

4. مقارنة الشكل النهائي مع المعادلة القياسية للدائرة: نقوم بمقارنة المعادلة النهائية بالشكل القياسي لدائرة لتحديد موقع مركز الدائرة $(h, k)$.

5. تحديد إحداثيات مركز الدائرة: نستخرج إحداثيات مركز الدائرة من المعادلة النهائية.

بتطبيق هذه الخطوات، نتوصل إلى إحداثيات مركز الدائرة.

باختصار، يتطلب حل هذه المسألة فهمًا جيدًا للمفاهيم الجبرية المتقدمة والقدرة على تطبيقها بدقة. من المهم فهم كيفية تطبيق القوانين والمفاهيم الجبرية في حل المسائل الهندسية، وتطبيقها بدقة للوصول إلى الإجابة الصحيحة.