محور التناظر في الدوال (مسألة رياضيات)

إذا كان $f(x) = f(2 – x)$ لكل $x$، فما هي أبسط معادلة للخط الذي يجب أن يكون محوراً للتناظر لرسم $y = f(x)$؟

حل المسألة:

نلاحظ أن $f(x) = f(2 – x)$ يعني أن قيمة الدالة $f$ في $x$ متساوية لقيمة الدالة $f$ في $2 – x$. هذا يشير إلى وجود محور تناظري عند $x = 1$، حيث يكون $2 – x = 1$ وبالتالي $x = 1$.

لفهم ذلك بشكل أفضل، لنقم بتفكيك الدالة $f(x)$ ورؤية ما يحدث عند تطبيق $x$ و $2 – x$.

لنقم بالاستفادة من الخاصية $f(x) = f(2 – x)$ لنقم بالتعبير عن $f(2 – x)$ بواسطة $f(x)$ ونحاول إيجاد المعادلة:

$f(2 – x) = f(x)$

الآن لنعمل على تحليل ذلك بشكل أفضل، نرى أننا نبحث عن النقاط التي يكون فيها $f(x)$ متساوية لـ $f(2 – x)$. إذاً، عند $x = 1$، نعرف أن:

$f(2 – 1) = f(1) = f(1)$

وهذا يعني أن المحور الذي يجب أن يكون للتناظر هو $x = 1$.

الآن، معرفة أن $x = 1$ هو محور التناظر، يمكننا الاستنتاج أن المعادلة للخط المحوري يجب أن تكون $x = 1$، لأن المحور التناظري دائماً عمودي على المحاور.

وبالتالي، الإجابة النهائية هي: معادلة الخط المحوري هي $x = 1$.

بالطبع، دعوني أقدم لك تفاصيل أكثر حول حل هذه المسألة بالإضافة إلى القوانين التي تم استخدامها في الحل.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية التناظر في الدوال: هي الخاصية التي تقول إن قيمة الدالة عند $x$ تكون متساوية لقيمتها عند $2 – x$. بمعنى آخر، إذا كانت $f(x) = f(2 – x)$، فإن المنحنى يكون متناظراً حول محور $x = 1$.

تفاصيل الحل:

1. فهم الخاصية: نبدأ بفهم ما تعنيه الخاصية $f(x) = f(2 – x)$. هذه الخاصية تشير إلى أن الدالة متناظرة حول المحور $x = 1$. لأن $2 – x$ يقوم بعكس القيمة المستقلة $x$ على النحو الذي يخلق تناظراً حول $x = 1$.

2. تحديد معادلة المحور التناظري: بما أننا نعرف أن الدالة متناظرة حول $x = 1$، فإن معادلة المحور التناظري ستكون $x = 1$. هذا يعني أن أي نقطة على اليمين من المحور ($x > 1$) ستكون متناظرة مع نقطة مقابلة على اليسار من المحور ($x < 1$).

3. الخط المحوري للتناظر: المحور التناظري هو خط رأسي. وبالتالي، معادلته هي معادلة خط رأسي، وهي ببساطة $x = 1$.

4. التأكد من التناظر: يمكن أيضا التأكد من التناظر برسم الدالة $f(x)$ وملاحظة كيف يكون التناظر حول $x = 1$.

باختصار، بموجب خاصية التناظر في الدوال، يمكننا التأكيد على أن المحور التناظري للدالة $f(x)$ هو $x = 1$، وهذا يمثل الخط المحوري للتناظر للدالة.