مجموع مربعات الأعداد الصحيحة (مسألة رياضيات)

نريد أن نحدد مجموع جميع الأعداد الصحيحة الموجبة دون 100 التي هي مربعات كاملة لأعداد صحيحة.

لنقوم بحساب هذه الأعداد بدءًا من 1 إلى 99، لأن أعلى عدد مربع صحيح أقل من 100. نبدأ بتحليل الأعداد المربعة للأعداد الصحيحة الأولى:

العدد 1 هو مربع لنفسه. لذا يضاف إلى المجموع.

العدد 4 ليس مربعًا لأي عدد صحيح، لذا لا يتم إضافته إلى المجموع.

العدد 9 هو مربع للعدد 3. لذا يضاف إلى المجموع.

العدد 16 ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

العدد 25 ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

العدد 36 هو مربع للعدد 6.

العدد 49 ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

العدد 64 ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

العدد 81 هو مربع للعدد 9.

من خلال هذا التحليل، نجد أن الأعداد 1 و 9 و 36 و 81 هي المربعات التي هي أيضًا مربعات لأعداد صحيحة. لذا مجموع هذه الأعداد يساوي:

$1 + 9 + 36 + 81 = 127$

لذا، مجموع جميع الأعداد الصحيحة الموجبة دون 100 التي هي مربعات لأعداد صحيحة هو 127.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحليل الأعداد الصحيحة الموجبة دون 100 وتحديد أولئك الذين هم مربعات لأعداد صحيحة، ومن ثم حساب مجموعهم.

قوانين الجبر المستخدمة في الحل هي:

1. مربع العدد: إذا كان $x$ عدداً صحيحاً، فإن مربعه هو $x^2$.

2. مربع مربع العدد: إذا كان $y$ عدداً صحيحاً، فإن مربعه $y^2$ يعبر عن مربع مربع العدد.

لحساب المربعات لأعداد صحيحة دون 100، نقوم بتحليل الأعداد من 1 إلى 9 لأن أعلى عدد مربع صحيح أقل من 100.

نتبع الخطوات التالية:

1. نبدأ بالعدد 1. إذاً $1^2 = 1$، فإن العدد 1 هو مربع لنفسه.

2. نتابع إلى العدد 2. $2^2 = 4$، وهو ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

3. نأتي إلى العدد 3. $3^2 = 9$، فهو مربع للعدد 3.

4. نتحقق من العدد 4. $4^2 = 16$، وهو ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

5. نفحص العدد 5. $5^2 = 25$، وهو ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

6. نتأكد من العدد 6. $6^2 = 36$، فهو مربع للعدد 6.

7. نفحص العدد 7. $7^2 = 49$، وهو ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

8. نتأكد من العدد 8. $8^2 = 64$، وهو ليس مربعًا لأي عدد صحيح.

9. نأتي إلى العدد 9. $9^2 = 81$، فهو مربع للعدد 9.

من خلال هذا التحليل، نجد أن المربعات التي هي أيضًا مربعات لأعداد صحيحة هي 1 و 9 و 36 و 81. لذا، مجموعها هو:

$1 + 9 + 36 + 81 = 127$

وهذا هو الجواب النهائي.