مجموع الزوايا في المثلثات: الحلول والتطبيقات (مسألة رياضيات)

إذا تم بناء الجسر عن طريق تعليق لوح خشبي بين مثلثين متطابقي الأضلاع، حيث أن $AB = AC$ و $DE = DF$، وأن $\angle BAC = 20^\circ$ و $\angle EDF = 30^\circ$، فما مجموع $\angle DAC$ و $\angle ADE$؟

لنبدأ بحل المسألة:
من المعطيات، نلاحظ أن مثلث $ABC$ متطابق الأضلاع حيث $AB = AC$. إذاً، فإن $\angle B = \angle C$ لأن جميع زوايا المثلث متساوية في مثلث متطابق الأضلاع.

بما أن مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$، يمكننا حساب قيمة كل زاوية على النحو التالي:
$\angle BAC = 20^\circ$
$2 \times \angle B = 180^\circ – 20^\circ$
$\angle B = \frac{180^\circ – 20^\circ}{2} = 80^\circ$
إذاً، $\angle B = \angle C = 80^\circ$.

الآن، نركز على المثلث $DEF$. معروف أن $DE = DF$ وأن $\angle EDF = 30^\circ$.

نريد حساب قيمة $\angle ADE$.
نلاحظ أن $\angle ADE = \angle ADF$ لأن $DE = DF$ وهما الضلع المشترك بين المثلثين.
بما أن مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$، يمكننا حساب قيمة زاوية $\angle ADF$ على النحو التالي:
$\angle ADF = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $\angle DAC$.
من المعطيات، نعرف أن $\angle BAC = 20^\circ$. ولأن $AB = AC$، فإن المثلث $ABC$ متطابق الأضلاع، وبالتالي يتساوى $\angle B$ و$\angle C$ بقيمة $80^\circ$.
إذاً، يمكننا حساب قيمة $\angle DAC$ كالتالي:
$\angle DAC = \frac{180^\circ – 20^\circ – 80^\circ}{2} = 40^\circ$

الآن، يمكننا حساب مجموع الزاويتين:
$\text{مجموع} \, \angle DAC \, \text{و} \, \angle ADE = 40^\circ + 150^\circ = 190^\circ$

إذاً، مجموع زاوية $\angle DAC$ و$\angle ADE$ هو $190^\circ$.

لحل هذه المسألة، سنحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم هندسية وقوانين للمثلثات. سنقوم بتحليل المعلومات المعطاة واستخدام القوانين التالية:

1. قانون مجموع زوايا المثلث: مجموع زوايا المثلث يساوي $180^\circ$.
2. خاصية المثلث المتساوي الضلعين: في مثلث متساوي الضلعين، الزوايا المقابلة للضلوع المتساوية تتساوى.
3. قانون الزوايا المتممة: زاويتان متممتان يكون مجموع قيمهما يساوي $180^\circ$.

الآن، دعنا نحل المسألة خطوة بخطوة:

1. نعلم أن $AB = AC$ و$\angle BAC = 20^\circ$، لذا يمكننا استنتاج أن زاوية $B$ وزاوية $C$ هما متساويتان ويساويان $80^\circ$ لكل منهما، حسب قانون مجموع زوايا المثلث.
2. في المثلث $DEF$، نعلم أن $\angle EDF = 30^\circ$، ولكننا بحاجة لحساب قيمة زاوية $ADF$ أو $ADE$ (حيث أن $DE = DF$).
3. لحساب قيمة زاوية $ADE$، نستخدم قانون الزوايا المتممة، إذاً:
   $\angle ADE = \angle ADF = 180^\circ – \angle EDF = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$
4. الآن، نركز على المثلث $ABC$ مرة أخرى. نعلم أن $\angle BAC = 20^\circ$، ونريد حساب قيمة $\angle DAC$، وهي الزاوية المتبقية في المثلث.
5. نستخدم قانون مجموع زوايا المثلث لحساب قيمة $\angle DAC$، وهو:
   $\angle DAC = \frac{180^\circ – \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ – 20^\circ}{2} = 80^\circ$
6. الآن، نحسب مجموع الزوايا المطلوبة:
   $\text{مجموع} \, \angle DAC \, \text{و} \, \angle ADE = \angle DAC + \angle ADE = 80^\circ + 150^\circ = 230^\circ$

إذاً، مجموع الزاويتين $\angle DAC$ و$\angle ADE$ هو $230^\circ$.