مجال الدالة الجذرية المركبة (مسألة رياضيات)

نريد حساب مجال الدالة $w(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt[3]{x-3}$ والتعبير عن الإجابة بتعبير الفترات. للقيام بذلك، يجب أن نأخذ في اعتبارنا قيم $x$ التي تجعل الجذور في الدالة صالحة.

للجذر التربيعي $\sqrt{x-2}$، يجب أن يكون معامل التحويل $(x-2)$ أكبر من أو يساوي صفر، أي $x-2 \geq 0$، وبالتالي $x \geq 2$.

بالنسبة للجذر الثلاثي $\sqrt[3]{x-3}$، يجب أن يكون معامل التحويل $(x-3)$ أكبر من أو يساوي صفر، أي $x-3 \geq 0$، وبالتالي $x \geq 3$.

الآن نحتاج إلى مراعاة القيم التي تجعل كلتا الجذور صالحة. لذا، يجب أن تكون قيمة $x$ أكبر من أو تساوي الحد الأقصى للقيم المسموح بها، وهو الحد الأكبر بين $2$ و $3$. إذاً، يكون مجال الدالة:

$x \in [3, \infty)$

وهذا يعني أن الدالة صالحة لجميع القيم في الفترة [3، ∞).

لحل مسألة تحديد مجال الدالة $w(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt[3]{x-3}$، نحتاج إلى فهم الشروط التي يجب أن تتحقق لضمان صحة الجذور في الدالة.

1. الشروط على الجذر التربيعي $\sqrt{x-2}$:

   • يجب أن يكون معامل التحويل $(x-2)$ أكبر من أو يساوي صفر، وذلك بسبب قوانين الجذور حيث يجب أن يكون العدد الذي تحت الجذر موجبًا.
   • لذلك نحصل على $x-2 \geq 0$، ومن ثم $x \geq 2$.

2. الشروط على الجذر الثلاثي $\sqrt[3]{x-3}$:

   • يجب أن يكون معامل التحويل $(x-3)$ أكبر من أو يساوي صفر.
   • لذلك نحصل على $x-3 \geq 0$، ومن ثم $x \geq 3$.

الآن نريد أن نجمع بين الشروط للحصول على القيم الممكنة لـ $x$ التي تجعل الدالة صالحة. يجب أن تتحقق الشروط للجذر التربيعي والجذر الثلاثي في نفس الوقت. لذا، نأخذ الشرط الأقوى بينهما.

3. الشروط المشتركة:
   • الشرط الأقوى هو $x \geq 3$.

باختصار، مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية $x$ التي تكون أكبر من أو تساوي $3$، ونستخدم الرمزية الرياضية للتعبير عن ذلك بالتالي:

$x \in [3, \infty)$

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجذور وقوانين العدد الصحيح للتعبير عن الشروط المطلوبة للجذور في الدالة. الهدف هو التأكد من أن الجذور صالحة، وبالتالي تحديد مجال الدالة بشكل صحيح.