ما هي مفاهيم التبديل الكامل والتجزئة الجزئية في علم التفاضل والتكامل؟

التبديل الكامل (Total substitution) هي طريقة في حساب التفاضل والتكامل حيث يتم تغيير المتغيرات بمتغيرات أخرى من خلال التعويض، وذلك لتسهيل عملية حل المسألة الحسابية. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة المراد تكاملها f(x) = 2x + 5 وكان التعويض هو t = 2x + 5 ، فإن التكامل سيكون كالتالي:

∫f(x) dx = ∫(t) dt / (2)

وبعد الحساب والتعويض يكون الجواب التالي:

∫f(x) dx = (t^2 / 4) + C

حيث C هي الثابت التكاملي.

أما التجزئة الجزئية (Partial Integration) فهي طريقة أخرى في حساب التفاضل والتكامل حيث يتم تطبيقها في صورة المنتج لدوال مختلفة، أي إذا كانت الدالة المراد تكاملها هي f(x) والدالة الثانية هي g(x)، فإن التكامل يكون كالتالي:

∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫f ‘(x) ∫ ∫g(x) dx dx

وبعد الحساب والتعويض يكون الجواب التالي:

∫f(x) g(x) dx = f(x) G(x) – ∫f ‘(x) G(x) dx

حيث G(x) هي تكامل أنتجته الدالة الثانية g(x) و C هي الثابت التكاملي.