لا معكوس لهذه المصفوفة. (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد معكوس الناتج من القائمة التالية:
$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.$

لحساب المعكوس، نستخدم الصيغة التالية:
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
حيث أن $d$ هو المقص المُصاحب لعنصر $a$ في القائمة (في هذه الحالة هو $2$)، و $a$ هو المقص المُصاحب لعنصر $d$ (في هذه الحالة هو $6$)، و $b$ هو المقص المُصاحب لعنصر $c$ (في هذه الحالة هو $-4$)، و $c$ هو المقص المُصاحب لعنصر $b$ (في هذه الحالة هو $-3$)، و $\text{det}(A)$ هو محدد المصفوفة $A$.

لحساب $\text{det}(A)$، نستخدم الصيغة التالية:
$\text{det}(A) = ad – bc.$

من ثم، يمكننا حساب قيمة المعكوس.

لذا، نقوم بحساب المقدار المحدد للمصفوفة $A$:
$\text{det}(A) = (6 \times 2) – (-4 \times -3) = 12 – 12 = 0.$
ونجد أن قيمة المحدد هي $0$.

بما أن قيمة المحدد هي $0$، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس، وبالتالي المعكوس غير موجود.

لذا، الإجابة هي المصفوفة الصفرية:
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$

لحساب المعكوس للمصفوفة، نستخدم العديد من القوانين والمفاهيم في الجبر الخطي. هنا سأوضح الخطوات بتفصيل أكبر وأذكر القوانين المستخدمة:

1. حساب محدد المصفوفة ($\text{det}(A)$):
   محدد المصفوفة يُمثل حاصل ضرب العناصر القطرية الرئيسية ($a$ و $d$) ثم طرح حاصل ضرب العناصر القطرية الثانوية ($b$ و $c$). الصيغة العامة لحساب المحدد هي:
   $\text{det}(A) = ad – bc.$
   في هذه الحالة، يكون المحدد مساويًا لـ $0$.

2. قانون عدم وجود معكوس للمصفوفة:
   إذا كان محدد المصفوفة ($\text{det}(A)$) يساوي $0$، فإن المصفوفة ليست قابلة للعكس.

3. صيغة المعكوس:
   إذا كانت المصفوفة $A$ قابلة للعكس (أي أن محدد المصفوفة ليس يساوي $0$)، فيمكننا حساب المعكوس باستخدام الصيغة التالية:
   $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$
   حيث تمثل $d$ و $a$ عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة، في حين تمثل $b$ و $c$ عناصر القطر الثانوي.

في حل المسألة المطروحة، لاحظنا أن محدد المصفوفة يساوي $0$، مما يعني أن المصفوفة غير قابلة للعكس، وبالتالي لا يوجد معكوس لها. والنتيجة هي المصفوفة الصفرية.

هذه القوانين والمفاهيم هي الأساس في حساب المعكوسات وفي فهم الخواص الأساسية للمصفوفات في الجبر الخطي.