قيمة k لاعتماد الفيكتورات (مسألة رياضيات)

المجموعة من الفيكتورات $\left{ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \ k \end{pmatrix} \right}$ خطياً تعتمد. نحن بحاجة إلى أن يكون هناك حل غير الصفر لمعادلة خطية تجمع بين هذه الفيكتورات لتكون المجموعة غير خطية مستقلة. هذا يتطلب أن يكون معامل $k$ بحيث يسمح بالتعبير عن أحد الفيكتورات بواسطة الآخر.

فلنحل ذلك. لدينا:

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

حيث $c_1$ و $c_2$ هما معاملات التشكيل الخطي.

نكتب المعادلات المعادلة لهذا النظام:

يمكن حل هذا النظام للحصول على قيمة $k$ المطلوبة.

من المعادلة الأولى، نلاحظ أن $c_1 = -3c_2$.

ومن المعادلة الثانية، نستبدل $c_1$ بقيمته من المعادلة الأولى:

$2(-3c_2) + kc_2 = 0$
$-6c_2 + kc_2 = 0$
$c_2(-6 + k) = 0$

الآن، هناك حالتان:

1. إما $c_2 = 0$، وهذا الحالة لا تهمنا لأنها تعني أن الفيكتورات يمكن أن تكون مجموعة خطياً مستقلة.
2. أو $-6 + k = 0$، مما يعني أن $k = 6$.

لذا، القيمة الوحيدة التي يمكن أن يأخذها $k$ لجعل المجموعة خطياً تعتمد هي $k = 6$.

وبالتالي، القيمة الوحيدة لـ $k$ هي $6$.

لحل مسألة تحديد قيمة $k$ التي تجعل مجموعة الفيكتورات متعتمدة خطياً، نحتاج إلى الاعتماد على القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر الخطي، وهي:

1. تعريف الاعتماد الخطي (Linear Dependence): مجموعة من الفيكتورات تعتبر خطياً تعتمد إذا كان بالإمكان كتابة أحد الفيكتورات كمجموعة خطية من الآخرين بمعاملات غير الصفر.

2. مفهوم المعادلات الخطية: نحل المعادلات الخطية للتأكد من وجود حل غير الصفر للمعادلة.

3. قواعد الجمع والضرب الخطي: نستخدم قواعد الجمع والضرب الخطي للفيكتورات في الجبر الخطي لحساب المعادلات.

الآن، دعونا نقوم بتحليل المسألة:

نعطيها القوانين المذكورة أعلاه، نقوم بكتابة المعادلات الخطية لاعتماد الفيكتورات:

المجموعة: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} \right\}$

نبحث عن معاملات $c_1$ و $c_2$ حتى نجد حل غير الصفر للمعادلة:

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

يعني:

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 3c_2 \\ 2c_1 + kc_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

نقوم بكتابة المعادلات:

$\begin{cases} c_1 + 3c_2 = 0 \\ 2c_1 + kc_2 = 0 \end{cases}$

الآن نقوم بحل النظام من المعادلات الخطية:

من المعادلة الأولى: $c_1 = -3c_2$

ونستخدم هذا الناتج في المعادلة الثانية:

$2(-3c_2) + kc_2 = 0$

$-6c_2 + kc_2 = 0$

$c_2(-6 + k) = 0$

من هنا، نلاحظ أن القيمة الوحيدة التي تجعل المعادلة تتحقق هي $k = 6$.

إذاً، القيمة الوحيدة لـ $k$ التي تجعل المجموعة خطياً تعتمد هي $k = 6$.