كيفية جمع وطرح الكسور بسهولة

جمع وطرح الكسور: شرح مفصل مع الأمثلة

الكسور هي أحد المفاهيم الرياضية الأساسية التي تواجهها في حياتك اليومية سواء كنت تتعامل مع تقسيم الأشياء أو الحسابات. وتعد عملية جمع وطرح الكسور من العمليات البسيطة التي يمكن تعلمها بسهولة إذا ما تم فهم الأساسيات المتعلقة بها. في هذا المقال، سنقدم شرحاً مفصلاً لعملية جمع وطرح الكسور مع العديد من الأمثلة التي ستساعدك على الفهم بشكل أفضل.

أولاً: مقدمة عن الكسور

الكسور هي طريقة لتمثيل جزء من الكل. يتكون الكسر من جزأين أساسيين هما البسط والمقام. البسط هو العدد الذي يقع فوق خط الكسر، ويمثل عدد الأجزاء المأخوذة من الكل. أما المقام فهو العدد الذي يقع تحت خط الكسر، ويمثل العدد الكلي للأجزاء التي يتكون منها الكل.

على سبيل المثال، في الكسر 3/4:

• البسط هو 3، مما يعني أن 3 أجزاء من الكل تم أخذها.

• المقام هو 4، مما يعني أن الكل يتكون من 4 أجزاء.

ثانياً: جمع الكسور

عملية جمع الكسور تتطلب منك أولاً التأكد من أن المقامات متساوية. في حالة المقامات المتساوية، يمكن جمع البسطين مباشرة. أما إذا كانت المقامات مختلفة، فيجب أولاً جعل المقامات متساوية ثم جمع البسطين.

1. جمع الكسور ذات المقامات المتساوية

إذا كانت الكسور التي نريد جمعها تحتوي على نفس المقام، يكون الجمع بسيطاً. نضيف البسطين معاً، بينما يبقى المقام كما هو.

مثال:
$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$

في هذا المثال، المقام هو 8 في كلا الكسرين. لذا نضيف البسطين 3 و 2، ونحصل على 5، ويبقى المقام 8.

2. جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

عندما تكون المقامات مختلفة، يجب علينا أولاً جعل المقامات متساوية. يمكن فعل ذلك عن طريق إيجاد القاسم المشترك الأصغر (C.P.L) للمقامات، ثم تكوين كسور مكافئة بحيث يكون لها نفس المقام.

مثال:
$\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$

في هذا المثال، المقام الأول هو 4 والمقام الثاني هو 6. القاسم المشترك الأصغر بين 4 و 6 هو 12. لذا نحتاج إلى تحويل كلا الكسرين بحيث يكون لهما مقام 12.

نبدأ بتحويل الكسر الأول:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$

ثم نحول الكسر الثاني:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

الآن أصبح لدينا الكسور بنفس المقام، وبالتالي يمكننا جمع البسطين:
$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}$

النتيجة:
$\frac{19}{12}$

النتيجة هي كسر غير صحيح، ويمكن تحويله إلى عدد مختلط كالتالي:
$\frac{19}{12} = 1 \frac{7}{12}$

ثالثاً: طرح الكسور

عملية طرح الكسور مشابهة تماماً لعملية الجمع، حيث تتطلب المقامات المتساوية أو جعل المقامات متساوية أولاً.

1. طرح الكسور ذات المقامات المتساوية

في حال كانت الكسور التي نريد طرحها تحتوي على نفس المقام، نقوم بطرح البسطين من بعضهما البعض، مع الحفاظ على المقام كما هو.

مثال:
$\frac{7}{10} – \frac{3}{10} = \frac{7 – 3}{10} = \frac{4}{10}$

في هذا المثال، المقام هو 10 في كلا الكسرين، لذا قمنا بطرح البسطين 7 و 3، ونحصل على 4، ويبقى المقام 10.

2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

كما هو الحال في جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، إذا كانت المقامات مختلفة، يجب أولاً جعل المقامات متساوية، ومن ثم يمكن طرح البسطين.

مثال:
$\frac{5}{8} – \frac{3}{4}$

المقام الأول هو 8 والمقام الثاني هو 4. القاسم المشترك الأصغر بين 8 و 4 هو 8. لذا نحتاج إلى تحويل الكسر الثاني بحيث يكون له نفس المقام:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$

الآن أصبحت الكسور بنفس المقام:
$\frac{5}{8} – \frac{6}{8} = \frac{5 – 6}{8} = \frac{-1}{8}$

النتيجة هي كسر سالب، مما يشير إلى أن النتيجة هي جزء ناقص من الكل.

رابعاً: حالات خاصة في جمع وطرح الكسور

هناك بعض الحالات التي قد تظهر أثناء جمع وطرح الكسور، ومن المهم فهمها لتجنب الأخطاء.

1. الكسور غير الصحيحة

الكسور غير الصحيحة هي الكسور التي يكون البسط فيها أكبر من المقام، مثل $\frac{7}{4}$. يمكن التعامل معها بالطريقة نفسها التي نتعامل بها مع الكسور الصحيحة، لكن في النهاية يجب تحويلها إلى أعداد مختلطة.

مثال:
$\frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

هنا حصلنا على 3، وهو عدد صحيح.

2. الكسور المختلطة

الكسور المختلطة هي الكسور التي تحتوي على جزء صحيح وجزء كسر، مثل $2 \frac{3}{4}$. لتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي، نقوم بضرب الجزء الصحيح في المقام وإضافة البسط.

مثال:
$2 \frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

عند الجمع أو الطرح، يمكن تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير صحيحة ثم التعامل معها بنفس الطريقة.

خامساً: الخلاصة

جمع وطرح الكسور هو مفهوم رياضي بسيط يمكن تطبيقه في العديد من المواقف العملية. من خلال الفهم الجيد لكيفية التعامل مع المقامات المتساوية أو جعل المقامات متساوية، يمكن القيام بالعمليات الحسابية بكل سهولة. سواء كنت تتعامل مع كسور ذات مقامات متساوية أو مختلفة، فإن العملية تتطلب بعض الخطوات المنهجية، مثل إيجاد القاسم المشترك الأصغر وتحويل الكسور لتتوافق في المقام.

أصبح من الممكن الآن الجمع والطرح بسهولة باستخدام الأمثلة التي تمت مناقشتها، ويمكن تطبيق هذه المعرفة في الكثير من العمليات الحسابية اليومية.