فترة دالة الجمع الجاذب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو الفترة للدالة $y = \tan x + \cot x$؟

الحل:
لحساب الفترة للدالة $y = \tan x + \cot x$، يمكننا أولاً تحويلها إلى صورة متجمعة واحدة باستخدام الهوية التالية:
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$
باستخدام هذه الهوية، نحول الدالة إلى صورة متجمعة واحدة كالتالي:
$y = \tan x + \frac{1}{\tan x}$

الآن، لنركز على الجزء الأول $\tan x$. يعتبر $\tan x$ دالة متجاورة، وهو يكرر نفسه بانتظام كلما زاد $x$ بمقدار $\pi$. لذا، فإن فترة $\tan x$ هي $\pi$.

بالنسبة للجزء الثاني $\frac{1}{\tan x}$، يمكننا استخدام نفس المنطق للتعرف على فترته. هذه الجزء يتكرر أيضًا كلما زاد $x$ بمقدار $\pi$.

ومعًا، يصبح لدينا دالة $y = \tan x + \frac{1}{\tan x}$ تتكرر بانتظام كلما زاد $x$ بمقدار $\pi$. لذا، الفترة الكاملة للدالة هي $\pi$.

لحل مسألة البحث عن الفترة للدالة $y = \tan x + \cot x$، نحتاج إلى فهم خصائص الدوال المتورِّطة والقوانين المتعلقة بحساب الفترة.

أولاً وقبل كل شيء، يجب فهم الدوال المشاركة في الدالة $y = \tan x + \cot x$. الدالة $\tan x$ هي النسبة بين الجانب المقابل والجانب المجاور لزاوية $x$ في مثلث قائم الزاوية. بينما الدالة $\cot x$ تمثل العكس التمامي للدالة $\tan x$، أي أنها تعادل الجانب المجاور على الجانب المقابل.

القوانين المستخدمة:

1. الفترة لدالة $\tan x$ هي $\pi$، لأنها دالة متجاورة تتكرر كل $\pi$ راديان.
2. القانون الأساسي في الجبر، الذي يقول إذا كانت $f(x)$ دالة متجاورة، فإن الدالة $f(x) + g(x)$ ستتكرر بنفس الفترة كل $f(x)$.

الآن، دعونا نقوم بتحليل الدالة $y = \tan x + \cot x$. عندما نجمع الدالتين $\tan x$ و $\cot x$، نحصل على $\tan x + \frac{1}{\tan x}$، حيث استخدمنا القاعدة $\cot x = \frac{1}{\tan x}$.

كل من $\tan x$ و $\frac{1}{\tan x}$ يتكرر بشكل متكرر كلما زاد $x$ بمقدار $\pi$ راديان، لأن الدوال الأصلية تتكرر كل $\pi$ راديان. وبما أننا نقوم بجمعهما معًا، فإن الدالة $y = \tan x + \cot x$ ستتكرر بنفس الفترة $\pi$ كلما زاد $x$ بمقدار $\pi$ راديان.

لذا، الفترة الكاملة للدالة $y = \tan x + \cot x$ هي $\pi$، وهي الإجابة على المسألة.