عدد الارتدادات لكرة تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد (مسألة رياضيات)

كُرة مرتدة من ارتفاع 1000 قدم وترتد بالارتفاع نصف المسافة التي سقطت منها. بعد كم عدد من المرات ستصل الكرة لارتفاع أقل من قدم واحد؟

لنقم بتحليل الحالة، عند كل ارتداد، تصل الكرة إلى ارتفاع يعادل نصف الارتفاع السابق. إذا كانت الارتفاع الأولي 1000 قدم، فإنه بعد الارتداد الأول، ستصل إلى ارتفاع 500 قدم، ومن ثم بعد الارتداد الثاني ستصل إلى 250 قدم، وهكذا.

يتبين أن الارتفاعات بعد كل ارتداد تتبع تسلسل هندسي من النصف. يمكن تمثيل الارتفاع بعد الارتداد الـ n بواسطة العبارة التالية:

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

حيث n هو عدد الارتدادات.

لكننا نريد أن نجد أول مرة يكون فيها الارتفاع أقل من قدم واحد. لذا نضع المعادلة:

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 1$

نقوم بحل هذه المعادلة للحصول على قيمة n. نبدأ بتقدير قيمة n ونقوم بزيادتها حتى نجد القيمة المناسبة.

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 1$

نرى أن $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ ستصبح أقل من 1 عندما نتجاوز 10 ارتدادات، وبالتالي سنبدأ بالبحث من هنا.

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} < 1$

قيمة $\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ تقريباً تساوي $\frac{1}{1024}$، وبالتالي:

$1000 \times \frac{1}{1024} < 1$

نقوم بالحساب:

$1000 \times 0.0009765625 < 1$

وبمجرد حساب الجهة اليمنى من المعادلة، نجد أنها تتساوى تقريباً مع 0.9765625.

هذا يعني أن عدد الارتدادات اللازمة هو 10. لكن للتحقق، دعنا نقوم بالتأكيد على أن الارتفاع بعد الارتداد العاشر أقل من قدم واحد:

$1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 1000 \times \frac{1}{1024} \approx 0.9765625$

إذاً، بعد 10 مرات ارتداد، ستكون الكرة عند ارتفاع أقل من قدم واحد، وهذا هو الحل للمسألة.

في هذه المسألة، نستخدم مبدأ الحركة المتكررة للكرة المرتدة ونعتمد على قوانين الحركة وتسلسل الأحداث لتحديد عدد الارتدادات التي يحتاجها الكرة حتى تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الارتدادات: في هذه المسألة، يتم تحديد ارتفاع الكرة بعد كل ارتداد باستخدام قاعدة حسابية تعتمد على النسبة المئوية التي ترتد فيها الكرة. هنا، نقوم بحساب الارتفاع بعد كل ارتداد باستخدام القاعدة $H_n = H_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ حيث $H_n$ هو ارتفاع الكرة بعد الارتداد رقم n، و$H_0$ هو الارتفاع الأولي للكرة، وn هو عدد الارتدادات.

2. الشرط الضروري للوصول إلى ارتفاع أقل من قدم واحد: نضع الشرط التالي لتحديد عدد الارتدادات اللازمة: $H_n < 1$ حيث $H_n$ هو ارتفاع الكرة بعد الارتداد رقم n.

الخطوات الرئيسية في الحل:

1. نستخدم قاعدة الحساب لتحديد ارتفاع الكرة بعد كل ارتداد.
2. نقوم بتحديد عدد الارتدادات اللازمة لتصل الكرة إلى ارتفاع أقل من قدم واحد باستخدام الشرط المذكور أعلاه.

الحل:

1. نستخدم القاعدة $H_n = H_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ حيث $H_n$ هو ارتفاع الكرة بعد الارتداد رقم n، و $H_0$ هو 1000 قدم.
2. نضع الشرط $H_n < 1$ لتحديد عدد الارتدادات اللازمة.
3. نبدأ بتحديد عدد الارتدادات n بدءًا من 1 ونزيد حتى نجد أول مرة تتحقق فيها الشرط $H_n < 1$.

بعد الحسابات، نجد أن الكرة تصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد بعد 10 ارتدادات.

هذا الحل يعتمد على فهمنا لقوانين الحركة واستخدامها لحل المسألة بدقة وتفصيل.