عدد الأعلام الممكنة: حل تصميم الأعلام باستخدام الألوان (مسألة رياضيات)

عند تصميم العلم، يمكن استخدام الألوان الأرجوانية والذهبية في ثلاثة خطوط أفقية صلبة، ويسمح بأن تكون الخطوط المتجاورة بنفس اللون. لحساب عدد الأعلام الممكنة، يمكننا استخدام القوانين الأساسية للجمع والتكرار.

نلاحظ أن لدينا خياران للون الخطوط: الأرجواني والذهبي.

1. إذا قمنا بتحديد الخط الأول بأحد الألوان، فلدينا 2 خيار لتحديد اللون الثاني و 2 خيار لتحديد اللون الثالث (لأن الخطوط المتجاورة يمكن أن تكون بنفس اللون).
   وبالتالي، يمكننا تحديد الخطوط بـ $2 \times 2 \times 2 = 8$ طرق مختلفة.

2. إذا اخترنا لونًا متغيرًا للخط الأول، فلدينا 2 خيار لتحديد اللون الثاني (يمكن أن يكون نفس لون الخط الأول) و 2 خيار لتحديد اللون الثالث.
   وبالتالي، هناك $2 \times 2 = 4$ طرق مختلفة لاختيار الألوان.

الآن نضيف الاحتمالين معًا:
$8 + 4 = 12$

إذن، هناك 12 علمًا مختلفًا يمكن تصميمها باستخدام الألوان الأرجوانية والذهبية في ثلاثة خطوط أفقية صلبة، مع السماح بأن تكون الخطوط المتجاورة بنفس اللون.

لحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، يمكننا استخدام مبدأ حسابي بسيط يعتمد على الجمع والضرب.

أولاً، لتصميم العلم، يمكننا تحديد لون لكل خط أفقي. ولكل خط، لدينا خياران: اللون الأرجواني أو الذهبي. يمكننا تمثيل هذا بشكل رياضي بتحديد خيار لكل خط.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب: عندما يكون لدينا مجموعة من الخيارات المستقلة، يمكننا استخدام قانون الضرب لحساب عدد الاحتمالات الإجمالي.

2. قانون الجمع: عندما يكون لدينا خيارات متعددة للحصول على نتيجة معينة، يمكننا استخدام قانون الجمع لجمع عدد الاحتمالات من كل سيناريو.

الآن دعونا نقوم بتطبيق هذه القوانين:

لدينا ثلاثة خطوط، ولكل خط يمكن أن يكون أرجوانيًا أو ذهبيًا. لذا، هناك $2 \times 2 \times 2 = 8$ ترتيبات مختلفة إذا افترضنا أن كل الخطوط مختلفة.

ومن ثم، يمكن أيضًا أن يكون الخط الأول متشابهًا مع الخط الثاني أو الثالث. لكل من هذه الحالات، يوجد 4 ترتيبات ممكنة (2 خيارات للخط الأول و 2 خيارات لكل من الخط الثاني والثالث).

إذاً، الإجمالي هو $8 + 4 + 4 = 16$ ترتيب مختلف، وهو الحل النهائي لعدد الأعلام الممكنة.

باختصار، قمنا بتحديد كل السيناريوهات الممكنة وقمنا بحساب عدد الخيارات لكل منها باستخدام قوانين الجمع والضرب.