طرق حل المعادلات بمجهولين

طريقة حل المعادلات بمجهولين: خطوات مفصلة ومبسطّة

تعتبر المعادلات ذات المجهولين من الأساسيات التي يعتمد عليها علم الرياضيات بشكل كبير. في الرياضيات، نواجه العديد من الحالات التي تتطلب منّا إيجاد قيم المجهولين في معادلتين أو أكثر. ومن بين أهم الأساليب المتبعة لحل المعادلات التي تحتوي على مجهولين هو استخدام طرق الجبر التقليدية مثل طريقة التعويض، وطريقة الحذف، وطريقة المصفوفات. في هذا المقال، سنتناول هذه الطرق بشكل مفصل لتوضيح كيفية حل المعادلات ذات المجهولين بشكل دقيق وفعّال.

1. المعادلات ذات المجهولين وأهمية حلها

تتكون المعادلة ذات المجهولين من معادلتين خطيتين أو أكثر تحتوي كل منهما على متغيرين أو مجهولين. غالبًا ما تكون هذه المعادلات على شكل:

$ax + by = c$
$dx + ey = f$

حيث $x$ و $y$ هما المجهولين، و$a$، $b$، $d$، $e$، $c$، و $f$ هي ثوابت أو أرقام ثابتة. الهدف هو العثور على قيمتي $x$ و $y$ اللتين تحققان كلتا المعادلتين.

2. طرق حل المعادلات ذات المجهولين

هناك عدة طرق متبعة لحل المعادلات ذات المجهولين، من أهم هذه الطرق: طريقة التعويض، طريقة الحذف، و طريقة المصفوفات.

2.1. طريقة التعويض

تعتبر طريقة التعويض من أسهل الطرق وأبسطها، وتعتمد على حل إحدى المعادلات بالنسبة لأحد المجهولين، ثم تعويض هذا الحل في المعادلة الثانية.

الخطوات:

1. نبدأ بحل إحدى المعادلات بالنسبة لأحد المجهولين. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة الأولى هي:
   $ax + by = c$
   يمكننا عزل $x$ أو $y$ حسب الرغبة. لنفترض أننا سنحل المعادلة بالنسبة لـ $x$:
   $x = \frac{c – by}{a}$

2. نقوم بتعويض قيمة $x$ التي وجدناها في المعادلة الثانية. إذا كانت المعادلة الثانية هي:
   $dx + ey = f$
   نضع قيمة $x$ فيها:
   $d\left(\frac{c – by}{a}\right) + ey = f$

3. بعد التعويض، نحل المعادلة الناتجة عن خطوة التعويض بالنسبة للمجهول الآخر. من خلال هذه الخطوة نحصل على قيمة $y$.

4. بعد الحصول على قيمة $y$، نعود إلى المعادلة التي تم حلها في البداية لإيجاد قيمة $x$.

مثال تطبيقي:
لنفترض أن لدينا المعادلتين:

$$3x + 2y = 16$$
$$5x – y = 9$$

نبدأ بحل المعادلة الثانية بالنسبة لـ $y$:

$$y = 5x – 9$$

ثم نعود إلى المعادلة الأولى ونقوم بالتعويض عن $y$:

$$3x + 2(5x – 9) = 16$$

نحل المعادلة الناتجة:

$$3x + 10x – 18 = 16$$
$$13x = 34$$
$$x = \frac{34}{13}$$

الآن نعود إلى المعادلة التي تم حلها بالنسبة لـ $y$:

$$y = 5\left(\frac{34}{13}\right) – 9 = \frac{170}{13} – 9 = \frac{170}{13} – \frac{117}{13} = \frac{53}{13}$$

إذن، الحل هو:

$$x = \frac{34}{13}, \quad y = \frac{53}{13}$$

2.2. طريقة الحذف

تعد طريقة الحذف أحد الأساليب الفعالة في حل المعادلات ذات المجهولين، وتقوم على فكرة “حذف” أحد المجهولين عن طريق إجراء عمليات ضرب أو جمع تتيح إلغاء أحد المتغيرات.

الخطوات:

1. نبدأ بحساب المعاملات في المعادلات حتى تكون أحد المتغيرات (سواء $x$ أو $y$) لهما نفس المعامل ولكن بإشارات مختلفة.

2. بعد أن نجعل المعاملات متساوية، نضيف المعادلتين أو نطرحهما لإلغاء أحد المتغيرات.

3. نحل المعادلة الناتجة عن عملية الحذف لإيجاد قيمة أحد المجهولين.

4. بعد إيجاد قيمة أحد المجهولين، نعود إلى إحدى المعادلات الأصلية لتعويض هذه القيمة وإيجاد قيمة المجهول الآخر.

مثال تطبيقي:
لنفترض أن لدينا المعادلتين:

$$2x + 3y = 12$$
$$4x – 3y = 6$$

نلاحظ أن المعاملات أمام $y$ هي $3$ و $-3$، وهما متساويان في القيمة المطلقة ولكن بإشارات مختلفة. لذلك، يمكننا جمع المعادلتين مباشرة لإلغاء $y$:

$$(2x + 3y) + (4x – 3y) = 12 + 6$$
$$6x = 18$$
$$x = 3$$

الآن نعود إلى إحدى المعادلات الأصلية (مثل الأولى) للتعويض عن قيمة $x$:

$$2(3) + 3y = 12$$
$$6 + 3y = 12$$
$$3y = 6$$
$$y = 2$$

إذن، الحل هو:

$$x = 3, \quad y = 2$$

2.3. طريقة المصفوفات

تعد طريقة المصفوفات من الطرق المتقدمة لحل المعادلات ذات المجهولين وتستخدم في المعادلات الخطية، حيث نكتب المعادلات على شكل مصفوفات ثم نستخدم العمليات المصفوفية لحل النظام.

الخطوات:

1. نكتب المعادلات على شكل مصفوفات، حيث تمثل المعاملات في المصفوفات، وتكون المعادلة في الشكل:

   $$\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ f \end{bmatrix}$$

2. نستخدم المصفوفات العكسية لحل المعادلة. إذا كانت $A$ هي المصفوفة المكونة من المعاملات (أي $A = \begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}$)، فبإمكاننا استخدام المصفوفة العكسية $A^{-1}$ لحل النظام كالتالي:

   $$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} c \\ f \end{bmatrix}$$

3. يمكن حساب المصفوفة العكسية باستخدام القاعدة الرياضية للمصفوفات العكسية.

مثال تطبيقي:
لنفترض أن لدينا المعادلات:

$$x + 2y = 5$$
$$3x + 4y = 11$$

نكتب هذه المعادلات على شكل مصفوفات:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}$$

ثم نحسب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ للمصفوفة $A$:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$$

حيث أن:

$$\text{det}(A) = (1 \times 4) – (2 \times 3) = 4 – 6 = -2$$

وبذلك تكون:

$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$$

نضرب المصفوفة العكسية في المصفوفة $\begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}$:

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix}$$

وب