صب الماء: حل مسألة الكسور

نفرض وجود جرتين متساويتين الحجم، مليئتين بالماء، وتُفرغ كل منهما في جرتين فارغتين ولكن بحجوم غير متساوية، حيث تكون جرة X ممتلئة بنسبة 1/5، بينما تكون جرة Y ممتلئة بنسبة 4/7. إذا تم صب الماء من جرة X إلى جرة Y حتى تمتلئ جرة Y، نريد معرفة الكسر الذي يمثل الجزء الممتلئ من جرة X بعد هذا العمل.

لنقم بحساب كمية الماء في كل جرة بناءً على النسب المعطاة. إذا كانت جرة X مليئة بنسبة 1/5 ونعلم أن حجمها يمثل الجزء الخمس من المجموع الكلي، فإن النسبة الممتلئة تكون (1 – 1/5)، وهي تساوي 4/5.

أما بالنسبة لجرة Y، فإنها ممتلئة بنسبة 4/7. الآن، عندما نصب الماء من جرة X إلى جرة Y، يجب أن تمتلئ جرة Y بالكامل، لذا نحتاج إلى حساب الكمية التي سيتم نقلها من جرة X إلى جرة Y. يمكننا استخدام الفارق بين النسب الممتلئة في الجرتين للحصول على هذا الكمية.

الفارق بين 4/5 و 4/7 يمكن حسابه كالتالي:

(4/5) – (4/7) = (28/35) – (20/35) = 8/35.

إذاً، سيتم نقل 8/35 من جرة X إلى جرة Y. الآن، لنحسب النسبة المتبقية في جرة X بعد النقل:

(4/5) – (8/35) = (28/35) – (8/35) = 20/35.

الكسر 20/35 يمكن تبسيطه إلى 4/7.

لذلك، بعد صب الماء من جرة X إلى جرة Y، يكون الجزء الممتلئ من جرة X هو 4/7.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الجمع والطرح للكسور، بالإضافة إلى مفهوم التساوي بين حجوم السوائل. الهدف هو تحديد النسبة الممتلئة في جرة X بعد صب الماء في جرة Y.

لنستخدم الرموز التالية:

• $X$ لحجم جرة X
• $Y$ لحجم جرة Y
• $X_f$ للنسبة الممتلئة في جرة X
• $Y_f$ للنسبة الممتلئة في جرة Y

أولاً، نحسب حجم الماء في كل جرة بناءً على النسب المعطاة:

1. جرة X:
   $X_f = 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. جرة Y:
   $Y_f = \frac{4}{7}$

ثم، نحسب الكمية التي سيتم نقلها من جرة X إلى جرة Y:

$الكمية المنقولة = X_f – Y_f = \frac{4}{5} – \frac{4}{7}$

لتسهيل الحساب، يمكننا إيجاد مشتركة للمقامين (5 و 7) وتوحيد الكسور:

$= \frac{4 \times 7}{5 \times 7} – \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{28}{35} – \frac{20}{35} = \frac{8}{35}$

الآن، بعد صب الماء، نحسب النسبة المتبقية في جرة X:

$X_f – الكمية المنقولة = \frac{4}{5} – \frac{8}{35}$

لتسهيل الحساب، نوحد المقامين:

$= \frac{28}{35} – \frac{8}{35} = \frac{20}{35}$

يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى:

$= \frac{4}{7}$

لذلك، بعد صب الماء من جرة X إلى جرة Y، يصبح الجزء الممتلئ من جرة X هو $\frac{4}{7}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع والطرح للكسور.
2. مفهوم التساوي بين حجوم السوائل.