زيادة مساحة الدائرة: نسبة 525% (مسألة رياضيات)

ننظر إلى حقلين دائريين، ونعلم أن نسبة الأشعار بينهما هي 4:10. لنعبر عن هذه النسبة بالأشعار أنفسها، نفترض أن الأشعار هما 4r و 10r، حيث r هو الشعاع الأصغر.

المسألة تطلب منا حساب نسبة الزيادة في مساحة الحقل الثاني مقارنة بالحقل الأول. لحساب مساحة الدائرة، نستخدم الصيغة A = πr².

لذا، مساحة الحقل الأول هي π(4r)² ومساحة الحقل الثاني هي π(10r)².

الآن سنقوم بحساب نسبة زيادة المساحة بين الحقلين. نستخدم الصيغة التالية:

$\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{\text{المساحة الثانية} – \text{المساحة الأولى}}{\text{المساحة الأولى}} \right) \times 100$

$\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{\pi(10r)² – \pi(4r)²}{\pi(4r)²} \right) \times 100$

الآن نقوم بتبسيط الصيغة:

$\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{100r² – 16r²}{16r²} \right) \times 100$

$\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{84r²}{16r²} \right) \times 100$

$\text{نسبة الزيادة} = 525\%$

إذاً، مساحة الحقل الثاني تكون أكبر بنسبة 525% من مساحة الحقل الأول.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع الخطوات التالية واستخدام القوانين المتعلقة بمساحة الدوائر.

1. تعبير عن النسبة بين الأشعار:
   نعلم أن النسبة بين الأشعار في الحقلين هي 4:10، لنعبر عن ذلك نفترض أن الأشعار هي 4r و10r حيث r هو الشعاع الأصغر.

2. حساب مساحة الدوائر:
   نستخدم صيغة مساحة الدائرة $A = πr²$. لحقل الأول، المساحة تكون $A_1 = π(4r)²$، ولحقل الثاني، المساحة تكون $A_2 = π(10r)²$.

3. حساب نسبة الزيادة:
   نستخدم الصيغة: $\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{\text{المساحة الثانية} – \text{المساحة الأولى}}{\text{المساحة الأولى}} \right) \times 100$

   نعوض القيم:
   $\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{\pi(10r)² – \pi(4r)²}{\pi(4r)²} \right) \times 100$

4. تبسيط الصيغة:
   نقوم بتبسيط الصيغة للحصول على النسبة بشكل أبسط. في هذه الحالة، نستخدم خاصية إخراج العامل المشترك:
   $\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{100r² – 16r²}{16r²} \right) \times 100$

   بعد الإختصار:
   $\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{84r²}{16r²} \right) \times 100$

5. الحساب النهائي:
   نقوم بحساب النسبة النهائية:
   $\text{نسبة الزيادة} = 525\%$

قوانين ومفاهيم رياضية تم استخدامها:

• صيغة مساحة الدائرة: $A = πr²$
• نسبة الزيادة: $\text{نسبة الزيادة} = \left( \frac{\text{القيمة الجديدة} – \text{القيمة القديمة}}{\text{القيمة القديمة}} \right) \times 100$
• خاصية إخراج العامل المشترك: $\frac{a}{b} = \frac{ka}{kb}$

باستخدام هذه القوانين والتفاصيل المحددة في الحل، يمكننا حساب نسبة زيادة مساحة الحقل الثاني مقارنة بالحقل الأول.