زيادة إنتاج الملفوف: حديقة مربعة ومعادلة ترباعية (مسألة رياضيات)

في هذا العام، قامت الحدائقية بزراعة ملفوف في حديقتها العلى الشكل المربع، ويستهلك كل ملفوف مساحة مقدارها قدم مربع واحد. هذا العام، قررت الحدائقية زيادة إنتاجها بمقدار 193 ملفوفًا مقارنة بالعام الماضي، وعلى الرغم من زيادة الإنتاج، إلا أن شكل المساحة المستخدمة لزراعة الملفوف قد بقي على شكل مربع في كلتا السنتين. السؤال هو: كم عدد الملفوف الذي أنتجته هذه السنة؟

للإجابة على هذا السؤال، يمكننا أولاً حساب مساحة الحديقة العام الماضي بطرح الزيادة في عدد الملفوف هذا العام من المساحة الإجمالية لهذا العام. إذا كان كل ملفوف يستهلك قدم مربع واحد، فإن زيادة 193 ملفوفًا تعني زيادة مساحة 193 قدم مربع.

لنفترض أن مساحة الحديقة العام الماضي كانت “س” قدم مربع، إذاً مساحة الحديقة هذا العام تكون “س + 193” قدم مربع. ونعلم أيضًا أن الحديقة هذا العام هي مربعة الشكل.

لحساب طول ضلع المربع الحديث، نستخدم العلاقة بين طول ضلع المربع ومساحته، حيث إنه في حالة المربع، يكون طول ضلعه يساوي جذر المساحة.

لذا، طول ضلع المربع هذا العام يكون جذر “س + 193”. وبما أننا نعلم أن شكل المساحة لا يزال مربعًا، فإن طول ضلع المربع هذا العام يكون مساويًا لـ “س + 193”.

الآن، يمكننا إعداد المعادلة:
$\text{طول ضلع المربع هذا العام} = \sqrt{س + 193} = س + 193$

لحل هذه المعادلة، نقوم برفع الجهة اليمنى إلى الأس الثاني:
$س + 193 = (س + 193)^2$

ثم نقوم بتوسيع وحل المعادلة الناتجة:
$س + 193 = س^2 + 386س + 193^2$

نقوم بجمع المصفوفات المتشابهة ونحصل على:
$0 = س^2 + 385س – 193^2$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة quadratically باستخدام الصيغة العامة:
$س = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$ و $b = 385$ و $c = -193^2$.

باستخدام القيم المعطاة، نقوم بحساب قيمة س، ونجد أن قيمة س تكون موجبة. إذاً، المساحة العام الماضي كانت إيجابية، وبالتالي طول ضلع المربع هذا العام يكون $س + 193$.

بعد حساب القيمة، يمكننا الآن حساب عدد الملفوف الذي أنتجته الحديقة هذا العام، والذي يكون يساوي مساحة الحديقة هذا العام.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية والجبر. نشرح الخطوات خطوة بخطوة.

المسألة تتحدث عن حديقة مربعة يتم زراعة الملفوف فيها، وكل ملفوف يحتاج إلى قدم مربع واحد. الهدف هو حساب عدد الملفوف التي أنتجتها الحديقة هذا العام.

لنمثل مساحة الحديقة في العام الماضي بالرمز $s$ (بالقدم المربع)، وبما أن الحديقة مربعة، فإن طول ضلع المربع يكون $\sqrt{s}$.

هذا العام، قررت الحدائقية زيادة الإنتاج بمقدار 193 ملفوفًا. لذا، المساحة الإجمالية للحديقة هذا العام هي $s + 193$ قدم مربع.

نعلم أن الحديقة هذا العام لا تزال مربعة، لذا طول ضلع المربع الجديد يكون $\sqrt{s + 193}$. ولكننا نعلم أيضًا أن هذا يكون مساويًا للجمع بين طول ضلع المربع في العام الماضي والزيادة في عدد الملفوف، أي $\sqrt{s} + 193$.

لتبسيط الأمور، لنقم بحساب طول ضلع المربع الجديد باستخدام القانون الجبري العام:
$\sqrt{s + 193} = \sqrt{s} + 193$

الآن، للتخلص من الجذر، نقوم برفع الطرفين إلى الأس الثاني:
$s + 193 = (\sqrt{s} + 193)^2$

نقوم بتوسيع الجهة اليمنى باستخدام توسيع الربع:
$s + 193 = s + 2 \times \sqrt{s} \times 193 + 193^2$

نقوم بتجميع المصفوفات المتشابهة:
$0 = s + 193 – 2 \times \sqrt{s} \times 193 – 193^2$

الآن، لدينا معادلة ترباعية في $s$، والتي يمكن حلها باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي. لنحسب قيمة $s$ باستخدام الصيغة:
$s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$ و $b = -2 \times 193$ و $c = 193^2 – 193$.

نحسب الجذرين الممكنين باستخدام الصيغة ونجد أن قيمة $s$ هي إيجابية. ثم نحسب طول ضلع المربع الجديد بإضافة 193 إلى قيمة $s$.

أخيرًا، بمجرد حساب طول ضلع المربع الجديد، يمكننا حساب المساحة الإجمالية للحديقة في العام الحالي، والتي تكون مساوية لعدد الملفوف التي أنتجتها.