حل معادلة مسافة مركبة: تطبيقات الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق المعادلة $|6+ti| = 10$.

لنقوم بحل المسألة:
نعلم أن القيمة المطلقة $|z|$ لعدد مركب $z = a + bi$ تعني المسافة بين نقطة الأصل ونقطة تمثل $z$ في السطح المركب. إذاً، لحساب $|6+ti|$، نحتاج إلى وجود نقطة مركبة تمثل $6+ti$ على المستوى السمحي.

لحساب $|6+ti|$، نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين في السطح المركب، التي تكون كالتالي:
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
حيث $z = a + bi$ هو العدد المركب.

في هذه الحالة، لدينا $z = 6 + ti$. لذا،
$a = 6$
$b = t$

وبالتالي،
$|6+ti| = \sqrt{6^2 + t^2} = \sqrt{36 + t^2}$

والمعادلة الأساسية التي يجب حلها هي:
$\sqrt{36 + t^2} = 10$

نربع الطرفين:
$36 + t^2 = 100$

ثم نقوم بطرح 36 من الجانبين:
$t^2 = 100 – 36$
$t^2 = 64$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
$t = \sqrt{64}$
$t = 8$

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق $|6+ti| = 10$ هي $t = 8$.

لنقم بحل المسألة بالتفصيل وذكر القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

المسألة تطلب إيجاد القيمة الإيجابية لـ $t$ في المعادلة $|6+ti| = 10$.

أولاً، نستخدم مفهوم المسافة بين نقطتين في السطح المركب. إذا كان $z = a + bi$ هو عدد مركب، فإن $|z|$ هو المسافة بين النقطة التي تمثل $z$ ونقطة الأصل في السطح المركب، وهي $(0,0)$.

المعادلة $|6+ti| = 10$ تعبر عن المسافة بين النقطة $6+ti$ ونقطة الأصل في السطح المركب. هذه المسافة يجب أن تكون مساوية لـ 10.

لتحديد هذه المسافة، نستخدم القاعدة الأساسية للمسافة في السطح المركب:
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

حيث $z = a + bi$ هو العدد المركب.

في هذه المسألة، $z = 6 + ti$، لذا $a = 6$ و $b = t$.

نقوم بتطبيق القاعدة للحصول على المسافة:
$|6+ti| = \sqrt{6^2 + t^2} = \sqrt{36 + t^2}$

وبما أننا نريد أن تكون هذه المسافة تساوي 10، فإننا نحصل على المعادلة:
$\sqrt{36 + t^2} = 10$

نربع الطرفين للقضاء على الجذر:
$36 + t^2 = 10^2$
$36 + t^2 = 100$

ثم نطرح 36 من الجانبين:
$t^2 = 100 – 36$
$t^2 = 64$

نأخذ الجذر التربيعي للجانبين:
$t = \sqrt{64}$
$t = 8$

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق المسألة هي $t = 8$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. مفهوم المسافة في السطح المركب.
2. صيغة المسافة بين نقطتين في السطح المركب.
3. حساب المسافة باستخدام القوانين الرياضية الأساسية.
4. التعامل مع المعادلات الرياضية لحل المسألة.
5. تطبيق الجذور التربيعية للعثور على القيم الإيجابية.