حل معادلة لوغاريتمية: قيمة r في log₁₆(r+16) = ⁵/₄ (مسألة رياضيات)

المسألة:

العثور على قيمة $r$ التي تجعل المعادلة $\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4}$ صحيحة.

الحل:

نستخدم خاصية اللوغاريتمات لحل المعادلة. بناءً على أن $\log_{a}b = c$ يعني أن $a^c = b$، يمكننا كتابة المعادلة بشكل آخر كالتالي:

$16^{\frac{5}{4}} = r + 16$

نقوم بحساب القيمة العددية للجهة اليمنى:

$16^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{(4 \times \frac{5}{4})} = 2^5 = 32$

الآن، نعيد كتابة المعادلة:

$32 = r + 16$

نحل للقيمة المجهولة $r$:

$r = 32 – 16$

$r = 16$

إذاً، القيمة التي تجعل المعادلة $\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4}$ صحيحة هي $r = 16$.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً وسنذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تطلب منا العثور على قيمة $r$ في معادلة لوغاريتمية:

$\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4}$

لنقم بحل هذه المعادلة:

الخطوة 1: استخدام خاصية اللوغاريتمات

نستخدم خاصية اللوغاريتمات لتحويل المعادلة إلى صيغة قابلة للحل:

$16^{\frac{5}{4}} = r + 16$

الخطوة 2: حساب القيمة العددية

نقوم بحساب القيمة العددية للجهة اليمنى باستخدام قاعدة الأسس:

$16^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{(4 \times \frac{5}{4})} = 2^5 = 32$

إذاً، المعادلة تصبح:

$32 = r + 16$

الخطوة 3: حل المعادلة للقيمة المجهولة

نقوم بحل المعادلة البسيطة للحصول على قيمة $r$:

$r = 32 – 16$

$r = 16$

إذاً، قيمة $r$ هي 16.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة اللوغاريتم:
   إذا كان $\log_{a}b = c$، فإن $a^c = b$.

2. حساب الأسس:
   $a^{m \times n} = (a^m)^n$.

3. الجمع والطرح:
   $a + b = c$ يمكن حلها باستخدام الجمع والطرح العاديين.

تم استخدام هذه القوانين لتحويل المعادلة وحساب القيم العددية لحل المسألة.