حل معادلة رياضية: الأس واللوغاريتمات

الفرق بين 49 مربعًا و 49 يساوي 7 مرفوعة إلى قوة ما. لنقم بإعادة صياغة المعادلة بشكل رياضي:

$49^2 – 49 = 7^n$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بحساب الفارق بين 49 مربعًا و 49:

$2401 – 49 = 2352$

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة القوة التي يجب أن يتم رفع العدد 7 إليها للوصول إلى القيمة 2352. بمعنى آخر:

$7^n = 2352$

لنحسب القيمة المطلوبة لـ $n$، يمكننا استخدام اللوغاريتم الطبيعي:

$n = \log_7(2352)$

حاسبًا قيمة اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2352 بقاعدة 7، نحصل على قيمة تقريبية لـ $n$.

$n \approx \log_7(2352) \approx 4.36$

إذاً، يمكن تقريب القوة المطلوبة $n$ إلى القيمة الصحيحة الأقرب، وهي 4.

إذاً، الإجابة هي $n = 4$، ويمكننا التأكد من ذلك بتركيب القيمة في المعادلة الأصلية:

$7^4 = 2401$

وفعلاً، نجد أن القيمتين متساويتين.

لحل المعادلة $49^2 – 49 = 7^n$ وتحديد القيمة المناسبة لـ $n$، نقوم باتباع خطوات حسابية واستخدام بعض القوانين الرياضية. اليك تفاصيل أكثر:

1. حساب الفرق بين $49^2$ و $49$:
   $2401 – 49 = 2352$

2. تحديد قيمة $n$ باستخدام اللوغاريتم الطبيعي:
   نحتاج إلى حساب اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2352 بقاعدة 7.
   $n = \log_7(2352)$

3. استخدام الآلة الحاسبة أو البرمجة لحساب اللوغاريتم:
   بعد إجراء الحسابات، يمكن الحصول على قيمة تقريبية لـ $n$، وهي حوالي 4.36.

4. تقريب القيمة لأقرب عدد صحيح:
   نقرب قيمة $n$ إلى أقرب عدد صحيح، والذي هو 4.

5. التحقق من الإجابة:
   يمكننا التحقق من صحة الإجابة عن طريق رفع العدد 7 إلى القوة 4 ومقارنته بالقيمة الأصلية:
   $7^4 = 2401$

   وبالفعل، القيمتين متساويتين.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة الأساسين: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$
• اللوغاريتم الطبيعي: $\log_a(b)$ هو العدد الذي يجب رفعه إلى القوة $a$ للحصول على $b$.

باستخدام هذه القوانين، تم تحويل المعادلة الأصلية إلى تسلسل من العمليات الرياضية للوصول إلى القيمة المناسبة لـ $n$ والتحقق من صحة الإجابة.