حل معادلة رباعية بجذورها ومعاملاتها (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يتعين علينا حلها هي:
$x^4 – 4x – X = 0$

سنقوم بحساب قيمة $X$ بالاعتماد على العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها.

لنقوم أولاً بتحليل المعادلة. نعلم من الشروط المعطاة أن $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان للمعادلة.

نستخدم العلاقات بين معاملات المعادلة وجذورها، والتي تتبين من العلاقة التالية:
إذا كانت $a$ و $b$ هما الجذران للمعادلة الرابعة درجة $x^4 – 4x – X = 0$, فإن
$\begin{cases} a + b + c + d &= 0 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd &= -4 \\ abc + abd + acd + bcd &= 0 \\ abcd &= X \end{cases}$

حيث $c$ و $d$ هما الجذران الآخران للمعادلة.

بما أن $a$ و $b$ هما الجذران الحقيقيان للمعادلة، فإن $c$ و $d$ يمكن أن تكونا حلين معقولين للمعادلة.

نستخدم العلاقات المعطاة لحساب قيمة $X$.

نبدأ بحساب $a+b$:
من المعادلة الأولى، نعلم أن $a + b + c + d = 0$.
إذاً:
$a + b = -(c + d)$

الآن، نحسب $ab + a + b$:
نعلم من المعادلة الثانية أن $ab + ac + ad + bc + bd + cd = -4$.
نعلم أيضًا أن:
$ab + a + b = ab + (a + b) = ab – (c + d)$

الآن، نعطي قيمة $ab + a + b$:
من المعادلة الثانية، $ab + ac + ad + bc + bd + cd = -4$. نعلم أن:
$ab + a + b = -(c + d)$
إذاً:
$ab + a + b = -(c + d) = -(-4) = 4$

الآن، نقوم بحساب قيمة $X$:
نعلم من المعادلة الرابعة أن $X = abcd$.
ومن الشروط المعطاة، فإن $X = abcd = ab \times cd$.

بالنظر إلى المعادلة الثالثة، $abc + abd + acd + bcd = 0$.
نعرف أن:
$ab \times cd = X = abcd = \frac{(abc + abd + acd + bcd)}{ab}$

ومن المعادلة الثالثة:
$abc + abd + acd + bcd = 0$
إذاً:
$X = ab \times cd = \frac{0}{ab} = 0$

بالتالي، قيمة $X$ هي 0.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين في الجبر والجذور التربيعية. هذه القوانين تشمل:

1. معادلة الجذر الرباعي: إذا كان $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان لمعادلة من الدرجة الرابعة، فإن المعادلة يمكن كتابتها بالشكل: $(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0$ حيث $c$ و$d$ هما الجذران الآخران.

2. معاملات المعادلة الرباعية: يمكننا تمثيل معاملات المعادلة الرباعية باستخدام جذورها. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة الرباعية لها جذور $a$ و$b$ و$c$ و$d$، فإننا نستطيع كتابة المعادلة الرباعية على الشكل التالي: $x^4 – (a + b + c + d)x^3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x^2 – (abc + abd + acd + bcd)x + abcd = 0$.

3. مبدأ جمع وضرب الجذور: إذا كانت $a$ و$b$ هما الجذران لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، فإن مجموع الجذور هو $-\frac{b}{a}$ وضرب الجذور هو $\frac{c}{a}$.

4. مبدأ استبدال القيم: يمكن استبدال القيم في المعادلة باستخدام العلاقات المعطاة بين جذور المعادلة ومعاملاتها للعثور على القيم المطلوبة.

باستخدام هذه القوانين، نحن قادرون على حساب القيم المطلوبة بالطريقة الموضحة في الإجابة السابقة. باختصار، نحن نقوم بتحديد العلاقات بين الجذور والمعاملات ونستخدم هذه العلاقات لحساب القيم المطلوبة بمعرفة أحد الجذور.