حل معادلة رباعية: القيم المحتملة لـ $x$ (مسألة رياضيات)

إيجاد مجموع القيم المحتملة لـ $x$ عندما تكون $(x+2)(x-3) = 14$:

المسألة المعطاة: تُعطى معادلة مربعة بالشكل التالي: $(x+2)(x-3) = 14$

الحل:
نبدأ بفتح القوسين باستخدام قاعدة الضرب الجبرية:

$(x+2)(x-3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6$

الآن، لدينا المعادلة التالية: $x^2 – x – 6 = 14$

لنقم بترتيب المعادلة بحيث تكون في شكلها القياسي، حيث يكون اليسار يساوي صفر:

$x^2 – x – 6 – 14 = 0$
$x^2 – x – 20 = 0$

الآن، لحل هذه المعادلة الرباعية، يمكننا استخدام الطريقة الشهيرة لحل المعادلات الرباعية، والتي تعتمد على الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = -1$، و $c = -20$ في معادلتنا. لذا، يصبح الحل:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2}$
$x = \frac{1 \pm 9}{2}$

هنا نحصل على قيمتين محتملتين لـ $x$:

$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{1 – 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

إذًا، القيم المحتملة لـ $x$ هي 5 و -4.

الآن، للعثور على مجموع القيم المحتملة لـ $x$، نقوم بجمع القيمتين:

$\text{مجموع القيم المحتملة لـ} \: x = 5 + (-4) = 1$

لذا، مجموع القيم المحتملة لـ $x$ هو 1.

لحل المعادلة $(x+2)(x-3) = 14$ وإيجاد القيم المحتملة لـ $x$، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين في الجبر وحل المعادلات. سنقوم بشرح كل خطوة والقوانين المستخدمة في الحل:

1. فتح القوسين (استخدام قاعدة الضرب الجبرية):
   نبدأ بفتح القوسين باستخدام قاعدة الضرب الجبرية للحصول على تعبير بسيط يمثل المعادلة.

2. تجميع الأعضاء المماثلة:
   بعد فتح القوسين، نقوم بتجميع الأعضاء المماثلة معًا لتبسيط التعبير.

3. تحويل المعادلة إلى صيغتها القياسية:
   نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في صيغتها القياسية، أي أن الجزء الأيسر يساوي صفر.

4. استخدام قاعدة الجذور:
   نستخدم قاعدة الجذور لحل المعادلة الرباعية عن طريق تطبيق الصيغة العامة للحل للمعادلة الرباعية.

5. الجمع والطرح للحصول على القيم المحتملة لـ $x$:
   بعد حساب الجذور، نقوم بالجمع والطرح للحصول على القيم المحتملة لـ $x$.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة الضرب الجبرية: لفتح القوسين وحساب حاصل الضرب.
• قاعدة تجميع الأعضاء المماثلة: لتجميع الأعضاء ذات المعاملات المماثلة معًا.
• صيغة المعادلة الرباعية: تستخدم لحساب الجذور للمعادلة الرباعية.
• قاعدة الجذور: تستخدم لحل المعادلة الرباعية عن طريق استخراج الجذور.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حل المعادلة وإيجاد القيم المحتملة لـ $x$.