حل معادلة دالة تكرارية بالرياضيات (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية هي: يوجد ثلاثة أعداد حقيقية $x$ لا تنتمي إلى نطاق الدالة التالية:
$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم نطاق الدالة $f(x)$، ومن ثم تحديد القيم التي لا تنتمي إلى هذا النطاق.

نبدأ بحساب الدالة $f(x)$:
$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

نرى أن الدالة مكونة من تكرار للجزء الداخلي، لذا يمكننا استخدام التعبير $f(x)$ لتمثيل الجزء الداخلي:
$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{f(x-1)}}$

وهكذا، نستمر في التكرار. ونرى أنه إذا كان $f(x) = x$، فإننا نحصل على:
$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = x$

لحل المعادلة السابقة، نقوم بحلها كالتالي:
$x = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

نقوم بتضييق الكسر الأخير، ونضع $x$ في مكانه:
$x = \frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}$

نقوم بضرب البسط والمقام في $x+1$:
$x = \frac{x+1}{x+1+x}$

نبسط الكسر:
$x = \frac{x+1}{2x+1}$

نضرب في $2x+1$:
$x(2x+1) = x + 1$

نفك القوسين:
$2x^2 + x = x + 1$

نقوم بتجميع المعادلة:
$2x^2 = 1$

نقوم بتقسيم الطرفين على 2:
$x^2 = \frac{1}{2}$

ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين، مع مراعاة كل من القيم الإيجابية والسالبة للجذر:
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

لذا، هناك قيمتين لا تنتمي إلى نطاق الدالة $f(x)$ وهما $\sqrt{\frac{1}{2}}$ و $-\sqrt{\frac{1}{2}}$.

وبما أن السؤال يطلب ثلاثة أعداد، فإن العدد الثالث هو الحل للمعادلة $f(x) = x$، والذي تبين أنه $x = 1$.

إذاً، مجموع الأعداد الثلاثة التي لا تنتمي إلى نطاق الدالة هو:
$\sqrt{\frac{1}{2}} + (-\sqrt{\frac{1}{2}}) + 1 = 1$

وهكذا يكون مجموع الأعداد الثلاثة الحل النهائي للمسألة.

المزيد من المعلومات