حل معادلة ثانوية بالتوزيع (مسألة رياضيات)

نقوم بحل المعادلة التالية:

$x^2 + 4x + X = -(x + 3)(x + 5)$

نوزع الجزء اليمين من المعادلة:

$-(x + 3)(x + 5) = -x^2 – 5x – 3x – 15 = -x^2 – 8x – 15$

لدينا المعادلة:

$x^2 + 4x + X = -x^2 – 8x – 15$

نقوم بجمع الأعضاء المتشابهة:

$x^2 + x^2 + 4x + 8x + X = -15$

وبتجميع الأعضاء المتشابهة، نحصل على:

$2x^2 + 12x + X = -15$

الآن، نعيد ترتيب المعادلة لتكون على الصورة القياسية للمعادلة الثانوية:

$2x^2 + 12x + X + 15 = 0$

المعادلة السابقة هي المعادلة الثانوية في صيغتها العامة، والتي تكون على شكل:

$ax^2 + bx + c = 0$

حيث $a = 2$، $b = 12$، و $c = X + 15$.

الآن، بما أن لدينا الجواب $x = -3$، نستخدم العلاقة بين جذر المعادلة الثانوية ومعاملاتها، والتي تقول إن مجموع الجذرين يساوي $-\frac{b}{a}$.

لذا،

$-3 = \frac{-b}{a} = \frac{-12}{2} = -6$

الآن، لدينا قيمة $X$ تتوافق مع الجواب $x = -3$:

$X + 15 = -6$
$X = -6 – 15$
$X = -21$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $-21$.

لحل المسألة المعطاة، نستخدم العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. توزيع الضرب على الجهتين:
   نبدأ بتوزيع الضرب على الجهتين في المعادلة الأصلية:
   $-(x + 3)(x + 5) = -x^2 – 5x – 3x – 15$
   حيث نستخدم خاصية توزيع الضرب (Distributive Property) لضرب $(x + 3)$ بـ $(x + 5)$.

2. جمع الأعضاء المتشابهة:
   بعد التوزيع، نقوم بجمع الأعضاء المتشابهة في الجهة اليمنى من المعادلة:
   $-x^2 – 5x – 3x – 15$

3. ترتيب المعادلة:
   نقوم بترتيب المعادلة على النحو القياسي للمعادلة الثانوية:
   $x^2 + 4x + X = -x^2 – 8x – 15$

4. تحديد الجذور:
   نعرف أن الجواب $x = -3$، ونستخدم العلاقة بين جذر المعادلة الثانوية ومعاملاتها.

5. علاقة الجذور بالمعاملات:
   نستخدم العلاقة التي تقول إن مجموع الجذرين يساوي نقيض النسبة المئوية للمعامل الثاني في المعادلة الثانوية.
   $-\frac{b}{a} = -3$
   حيث $a$ هو المعامل المربعي و $b$ هو المعامل الخطي.

6. حساب قيمة $X$:
   بعد حساب $b$، نحل المعادلة لتحديد قيمة $X$:
   $X + 15 = -6$
   $X = -21$

بهذه الطريقة، نحصل على القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$.

في هذا الحل، استخدمنا مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية مثل خاصية توزيع الضرب، ترتيب المعادلات، والعلاقة بين جذور المعادلات الثانوية ومعاملاتها. هذه الخطوات مهمة لفهم كيفية حل المسائل الرياضية بطريقة دقيقة ومنهجية.