حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية (مسألة رياضيات)

البحث عن أكبر قيمة للمتغير $a$ التي تحقق الشرط $a^2-10a+21 \le 0$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب الجذرين للمعادلة الثانية $a^2-10a+21=0$. يمكن حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن المعادلة في هذه الحالة هي $a^2-10a+21=0$، وبالتالي يكون لدينا $a=1$ و $a=9$.

الآن، يمكننا فحص القيم في المعادلة الأصلية $a^2-10a+21 \le 0$. نقوم بتقسيم المستوى إلى ثلاث فترات بناءً على الجذور التي حاسبناها:

1. عند $a<1$: نختبر قيمة $a=0$ في المعادلة، ونجد أن $0^2-10\times0+21=21$، وهو أكبر من صفر. لذلك، لا يتحقق الشرط في هذا النطاق.

2. بين $1 \le a \le 9$: نختبر قيمة $a=5$ في المعادلة، ونجد أن $5^2-10\times5+21=1$، وهو أقل من أو يساوي صفر. لذلك، يتحقق الشرط في هذا النطاق.

3. عند $a>9$: نختبر قيمة $a=10$ في المعادلة، ونجد أن $10^2-10\times10+21=11$، وهو أكبر من صفر. لذلك، لا يتحقق الشرط في هذا النطاق.

إذًا، نجد أن الشرط $a^2-10a+21 \le 0$ يتحقق عندما $1 \le a \le 9$. وبما أننا نبحث عن أكبر قيمة، فإن الإجابة هي $a=9$.

لنقم بفحص المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

المسألة:
$a^2 – 10a + 21 \le 0$

أولاً، نحاول فهم الهيكل العام للمعادلة. يمكن تمثيل المعادلة كـ:
$(a-7)(a-3) \le 0$

ثم نجد الجذور:
$a = 7, \quad a = 3$

الآن، لفهم السلوك في كل منطقة:

1. عند $a < 3$: نختبر قيمة $a = 2$ في المعادلة، ونجد أن الناتج إيجابي ($2^2 – 10 \times 2 + 21 = 13 > 0$)، لذا الشرط غير محقق في هذا النطاق.

2. بين $3 \le a \le 7$: نختبر قيمة $a = 5$ في المعادلة، ونجد أن الناتج يساوي صفر ($5^2 – 10 \times 5 + 21 = 0$)، لذا الشرط محقق في هذا النطاق.

3. عند $a > 7$: نختبر قيمة $a = 8$ في المعادلة، ونجد أن الناتج إيجابي ($8^2 – 10 \times 8 + 21 = 37 > 0$)، لذا الشرط غير محقق في هذا النطاق.

الآن، نتحقق من الحلول:
$3 \le a \le 7$

وبما أننا نبحث عن أكبر قيمة، فالإجابة النهائية هي $a = 7$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. قانون التوزيع: استخدمنا قانون التوزيع لتحويل المعادلة إلى شكل مناسب.

2. حساب الجذور: استخدمنا الصيغة العامة لحساب الجذور للمعادلة الثانوية.

3. فحص النطاقات: قمنا بفحص قيم المعادلة في مناطق مختلفة لفهم سلوكها.

4. التفاعل بين العوامل: استخدمنا التفاعل بين العوامل لتحليل هيكل المعادلة.

5. استنتاج الحلول: قمنا بتحديد النطاق الذي يحقق الشرط المطلوب واستنتجنا الإجابة.