حل معادلة تربيعية بحل واحد (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة:

“العثور على حاصل ضرب جميع القيم الحقيقية لـ $r$ التي تجعل المعادلة $\frac{1}{2x} = \frac{r-x}{7}$ تمتلك بالضبط حلاً واحدًا حقيقيًا.”

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، سنقوم بعدة خطوات:

1. نبدأ بتنظيف المعادلة وتحديد شروط الحلول الحقيقية.
2. نقوم بحساب الجذر التربيعي للتأكد من أن المعادلة تحتوي على حل واحد.
3. نعمل على حساب القيم الممكنة لـ $r$.

الآن، دعنا نبدأ:

1. نبدأ بتنظيف المعادلة:
   نضرب الطرفين في المعادلة بالمقام المشترك، وذلك للتخلص من المقامات:
   $7 = 2x \cdot \frac{r-x}{7}$

2. الآن نقوم بتوحيد القوى:
   $7 = \frac{2x(r-x)}{7}$

3. نقوم بضرب كل الطرفين في 7 للتخلص من المقام:
   $7 \times 7 = 2x(r-x)$
   $49 = 2x(r-x)$

4. نطوّل النهج عن طريق فتح الأقواس:
   $49 = 2rx – 2x^2$

5. نقوم بترتيب الفقرة لتكون معادلة منتظمة:
   $2x^2 – 2rx + 49 = 0$

6. الآن نستخدم المعادلة العامة لحساب الجذر التربيعي:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
   حيث $a = 2$، $b = -2r$، و $c = 49$.

7. الآن نعلم أن المعادلة تحتوي على حل واحد حقيقي عندما تكون الجذر تمامًا متساويًا بصفر:
   $b^2 – 4ac = 0$
   $(-2r)^2 – 4(2)(49) = 0$
   $4r^2 – 392 = 0$
   $4r^2 = 392$
   $r^2 = 98$
   $r = \pm \sqrt{98}$

8. ومن هنا، يمكننا أن نرى أن الحل المناسب هو:
   $r = \sqrt{98}$ لأننا نريد قيمة موجبة لـ $r$.

9. في النهاية، حاصل الضرب لجميع القيم الحقيقية لـ $r$ هو:
   $\sqrt{98}$

في هذه المسألة، نواجه معادلة من الدرجة الثانية تحتوي على متغيرين $x$ و $r$. نحن بحاجة إلى العثور على قيمة $r$ التي تجعل المعادلة تحتوي على حل واحد فقط.

لحل هذا النوع من المسائل، نستخدم العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. قانون الحلول الحقيقية: تكون المعادلة لديها حل واحد حقيقي عندما تتقاطع الخط الممثل للمعادلة مع المحور السيني وتمر عبر النقطة الحقيقية على المحور السيني.

2. معادلة القطع الزائدة (التربيعية): المعادلة العامة للمعادلة التربيعية هي $ax^2 + bx + c = 0$. حيث $a \neq 0$ و $a$ و $b$ و $c$ هي أعداد حقيقية. يمكن حساب الجذور باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي.

3. قاعدة جذر الناتج مجموعا مع قاعدة الناتج مضروبا فيما بينهما: هذا القانون يستخدم للعثور على العلاقة بين جذور معادلة التربيعية ومعاملاتها.

بناءً على القوانين المذكورة أعلاه، قمنا بتحليل المعادلة بعناية لتحديد القيم الممكنة لـ $r$ التي تجعل المعادلة تمتلك حلاً واحدًا حقيقيًا.

الخطوات المنطقية للحل تشمل تحويل المعادلة إلى شكل قياسي للمعادلة التربيعية، ثم استخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي للحصول على الجذر. وأخيرًا، نستخدم شروط الحل الواحد للعثور على قيمة مناسبة لـ $r$.

هذه الخطوات تأتي من فهم عميق للمفاهيم الرياضية الأساسية وتطبيقها بدقة في حل المسائل. استخدام هذه القوانين يمكّننا من الوصول إلى الحل بطريقة دقيقة وفعّالة.