حل معادلات مطلقة بإتقان (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي حساب القيمة المطلوبة للمتغير $x$ في المعادلة التالية:

$| x – 5 | + | x + 5 | + | x | = 27$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام خواص القيم المطلقة. لنقم بفحص الحالات المختلفة:

1. عندما $x \geq 0$:
   في هذه الحالة، المعادلة تصبح:
   $x – 5 + x + 5 + x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة، نحصل على:
   $3x = 27$
   وبالتالي:
   $x = 9$

2. عندما $-5 \leq x < 0$:
   في هذه الحالة، المعادلة تصبح:
   $-(x – 5) + (x + 5) + x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة، نحصل على:
   $x = 9$

3. عندما $x < -5$:
   في هذه الحالة، المعادلة تصبح:
   $-(x – 5) – (x + 5) – x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة، نحصل على:
   $-3x = 27$
   وبالتالي:
   $x = -9$

إذاً، القيم الممكنة للمتغير $x$ لحل المعادلة هي $x = -9$ أو $x = 9$.

سنقوم بحل المعادلة $| x – 5 | + | x + 5 | + | x | = 27$ باستخدام قوانين القيم المطلقة. لنبدأ بتحليل الحالات المختلفة:

1. عندما $x \geq 0$:
   في هذه الحالة، لا يتأثر أي قيمة مطلقة بالعدد $x$، لذا يمكننا كتابة المعادلة بدون القيم المطلقة:
   $x – 5 + x + 5 + x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة:
   $3x = 27$
   ومن ثم:
   $x = 9$

2. عندما $-5 \leq x < 0$:
   في هذه الحالة، قيمة $x$ تكون سالبة، لذا نقوم بتغيير اتجاه القيم المطلقة:
   $-(x – 5) + (x + 5) + x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة:
   $x = 9$

3. عندما $x < -5$:
   في هذه الحالة، جميع قيم $x$ سالبة، لذا نقوم بتغيير اتجاه القيم المطلقة في كل مكان:
   $-(x – 5) – (x + 5) – x = 27$
   بجمع الأعضاء المماثلة:
   $-3x = 27$
   ومن ثم:
   $x = -9$

باختصار، الحلول النهائية للمعادلة هي $x = -9$ أو $x = 9$.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية القيم المطلقة:
   $|a| = \begin{cases} a & \text{إذا كانت } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا كانت } a < 0 \end{cases}$

2. قاعدة جمع الأعداد المطلقة:
   $|a + b| = |a| + |b|$

3. قاعدة تغيير اتجاه القيم المطلقة:
   $|-a| = a$

في هذا السياق، استخدمنا هذه القوانين لتبسيط المعادلة والوصول إلى القيم الممكنة للمتغير $x$.