حل معادلات التكعيب بالأعداد الصحيحة (مسألة رياضيات)

لنحل المعادلة التالية:

$x^3 – 3x^2 – 13x + X = 0$

لنقم بتطبيق تقنية تقسيم النظير (Synthetic Division) للتحقق من وجود الجذور الصحيحة.

لنبدأ بتحليل القواسم المحتملة للمعادلة، والتي تكون القيم النسبية للعدد $X$.
من المعطيات نعرف أن الجذور الصحيحة هي -3، 1، و 5.

نبدأ باختبار القيمة -3:
عند استبدال $x$ بقيمة -3، نحصل على:
$(-3)^3 – 3(-3)^2 – 13(-3) + X = -27 – 27 + 39 + X = -15 + X$

نعرف أنه إذا كان الناتج يساوي الصفر، فإن -3 هو جذر للمعادلة.

الآن، نستخدم القيم الأخرى: 1 و 5.

لـ$x = 1$:
$1^3 – 3(1)^2 – 13(1) + X = 1 – 3 – 13 + X = -15 + X$

لـ$x = 5$:
$5^3 – 3(5)^2 – 13(5) + X = 125 – 75 – 65 + X = -15 + X$

نلاحظ أن القيم النهائية للتعويض تتواجد في المعادلة. وهي -15 + X.
نستنتج أن قيمة العدد $X$ هي 15.

إذاً، المعادلة الأصلية بعد إعادة الكتابة هي:
$x^3 – 3x^2 – 13x + 15 = 0$

والجذور الصحيحة هي -3، 1، و 5.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين من الجبر والحساب.

المعادلة التي نريد حلها هي:

$x^3 – 3x^2 – 13x + X = 0$

والهدف هو إيجاد القيمة المجهولة $X$ وكذلك إيجاد جذور العدد $x$.

1. تقسيم النظير (Synthetic Division):
   نستخدم تقنية تقسيم النظير لاختبار القيم المحتملة للجذور الصحيحة للمعادلة. نحتاج إلى معرفة القيم النسبية للعدد $X$ حتى نقوم بتجربتها مع الجذور المحتملة.

2. قاعدة حسابية:
   نحتاج إلى استخدام القواعد الحسابية البسيطة لتجربة القيم المحتملة للجذور الصحيحة واستنتاج القيم المحتملة للعدد $X$.

3. استخدام الجذور المحتملة:
   نستخدم الجذور المحتملة للمعادلة كمرشحات للاختبار، حيث يمكننا استبدال قيم $x$ بقيمها المحتملة في المعادلة ومن ثم معالجة الناتج لمعرفة ما إذا كانت تلك القيم صحيحة أم لا.

4. استخدام العلاقات الجبرية:
   نستخدم العلاقات الجبرية الأساسية مثل عمليات الجمع والطرح والضرب والقوى لتعويض القيم وحساب النتائج.

5. تحليل الناتج:
   نحلل النتائج التي نحصل عليها بعد التعويض ونقارنها بالصفر لمعرفة ما إذا كانت القيم المختبرة هي جذور للمعادلة أم لا.

6. تجريب القيم المحتملة:
   نقوم بتجربة القيم المحتملة للجذور لمعرفة ما إذا كانت تلك القيم تفي بشرط المعادلة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حل المعادلة المعطاة وتحديد القيم المحتملة للمجهول $X$، بالإضافة إلى تحديد جذور المعادلة.