حل مسائل الرياضيات: زوايا ومتجهات (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل مترجم:

لدينا اثنين من النواقص الناحية البعض الزوايا، حيث إن الزاوية بين الناقص الأول والمتجه $\begin{pmatrix} 2 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}$ تساوي $45^\circ$، والزاوية بين الناقص الأول والمتجه $\begin{pmatrix} X \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$ تساوي $60^\circ$. لنعبر عن الناقص الأول بالمتجه $\mathbf{v}$.

الآن، دعنا نقوم بحساب قيمة $X$ وأيضًا نجد فارق الطول بين الناقصين.

لحساب $X$، نستخدم العلاقة بين المنتج الداخلي والزوايا بالشكل التالي:
$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = \|\mathbf{v}_1\| \|\mathbf{v}_2\| \cos(\theta)$

حيث أن $\theta$ هو الزاوية بين الناقصين. ونعلم أيضًا أن:
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{و} \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

لدينا المعلومات التالية:
$\mathbf{v}_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \|\mathbf{v}_1\| \cdot \|\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\mathbf{v}_1 \cdot \begin{pmatrix} X \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \|\mathbf{v}_1\| \cdot \|\begin{pmatrix} X \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\| \cdot \frac{1}{2}$

الآن، نستطيع حساب $|\mathbf{v}_1|$ و$|\mathbf{v}_2|$ بمعرفة مقدار كل من المتجهين $\mathbf{v}_1$ و$\mathbf{v}_2$.

لحساب فارق الطول بين الناقصين، نستخدم العلاقة التالية:
$\|\mathbf{v}_1 – \mathbf{v}_2\| = \sqrt{\|\mathbf{v}_1\|^2 + \|\mathbf{v}_2\|^2 – 2\|\mathbf{v}_1\| \|\mathbf{v}_2\| \cos(\theta)}$

وبهذه الطريقة، نحصل على القيم المطلوبة لحل المسألة.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. الهدف هو إيجاد قيمة $X$ وحساب فارق الطول بين الناقصين.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. مفهوم الزوايا والمنتج الداخلي: نستخدم تعريف المنتج الداخلي بين اثنين من النواقص لحساب الزوايا بينهما.

2. قانون الكوساين: يُستخدم لحساب زوايا المثلثات والمضلعات، ويُعطي علاقة بين زاوية معينة وطول الضلع المقابل لها.

3. مفهوم طول المتجهات: يتيح لنا حساب فارق الطول بين المتجهات بواسطة المسافة بين نقطتين في الفضاء.

الآن، دعنا نبدأ في حساب قيمة $X$ وفارق الطول بين الناقصين:

1. حساب قيمة $X$:

   نستخدم المنتج الداخلي بين $\mathbf{v}_1$ والمتجه $\begin{pmatrix} X \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$:

   $\mathbf{v}_1 \cdot \begin{pmatrix} X \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \|\mathbf{v}_1\| \cdot \|\begin{pmatrix} X \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\| \cdot \cos(60^\circ)$

   $\Rightarrow \mathbf{v}_1 \cdot \begin{pmatrix} X \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \|\mathbf{v}_1\| \cdot \sqrt{X^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \frac{1}{2}$

2. حساب فارق الطول بين الناقصين:

   نستخدم مفهوم طول المتجهات والمعادلة التالية لحساب فارق الطول بين $\mathbf{v}_1$ و$\mathbf{v}_2$:

   $\|\mathbf{v}_1 – \mathbf{v}_2\| = \sqrt{\|\mathbf{v}_1\|^2 + \|\mathbf{v}_2\|^2 – 2\|\mathbf{v}_1\| \|\mathbf{v}_2\| \cos(45^\circ)}$

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حساب قيمة $X$ وفارق الطول بين الناقصين بشكل دقيق ودقيق. سنستخدم الحسابات السالفة الذكر لتحديد القيم المطلوبة.