حل مسألة: GCD و LCM لـ 18 و 42 (مسألة رياضيات)

إذا كانت 18 و 42 هما العددين المعنيين، فإننا نبحث عن حاصل ضرب العدد الأكبر مشترك والعدد الأصغر مشترك بينهما. العدد الأكبر مشترك بينهما يُرمز له بـ “أعظم مقسوم مشترك” ويُعرف اختصاراً بـ GCD، بينما يُرمز للعدد الأصغر مشترك بـ “أصغر مضاعف مشترك” ويُعرف اختصاراً بـ LCM.

لحساب GCD بين 18 و 42، نحتاج إلى تحليل العوامل الأولية لكلا الرقمين. 18 يمكن كتابته كمنتج لـ 2 × 3^2، بينما 42 يمكن كتابته كمنتج لـ 2 × 3 × 7. بمراجعة العوامل الأولية، نجد أن العامل المشترك الأكبر بينهما هو 2 و 3، والذي يُساوي 6.

لحساب LCM بين 18 و 42، نحتاج أيضًا إلى مراجعة العوامل الأولية لكل رقم. نجد أن أكبر عدد من العوامل موجود في كل من العددين هو 2 و 3 و 7. بما أن كل عامل يجب أن يكون موجودًا مع أكبر قوة له في كلا الأعداد، فإننا نحصل على LCM كمنتج لـ 2 × 3^2 × 7، الذي يُساوي 126.

الآن نحسب حاصل الضرب بين GCD و LCM. يكون الناتج هو:

$6 \times 126 = 756$.

إذاً، حاصل ضرب أعظم مقسوم مشترك وأصغر مضاعف مشترك بين 18 و 42 يُساوي 756.

لحل مسألة حاصل ضرب أعظم مقسوم مشترك (GCD) وأصغر مضاعف مشترك (LCM) بين الأعداد 18 و 42، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. تحليل الأعداد الأولية: نقوم بتحليل كل عدد إلى عوامله الأولية، وهي الأعداد الأصغر التي يمكن ضربها لتكوين العدد المعطى.

2. العملية الحسابية لـ GCD (أعظم مقسوم مشترك): نستخدم هذه العملية للعثور على أكبر عامل مشترك بين الأعداد المعطاة.

3. العملية الحسابية لـ LCM (أصغر مضاعف مشترك): نستخدم هذه العملية للعثور على أصغر عدد يمكن أن يقسم كل من الأعداد المعطاة.

الآن، دعونا نحسب GCD و LCM للأعداد 18 و 42 بالتفصيل:

للعدد 18:

• 18 يمكن كتابته كـ $2 \times 3^2$.

للعدد 42:

• 42 يمكن كتابته كـ $2 \times 3 \times 7$.

الآن، لحساب GCD، نأخذ أصغر قوة من كل عامل مشترك، ونقوم بضربهما معًا. لدينا عاملان مشتركان: 2 و 3.

• $GCD = 2 \times 3 = 6$.

ثم، لحساب LCM، نأخذ كل عامل موجود في كل من الأعداد مع أكبر قوة لكل عامل.

• $LCM = 2 \times 3^2 \times 7 = 126$.

أخيرًا، نقوم بحساب حاصل الضرب بين GCD و LCM:

• $GCD \times LCM = 6 \times 126 = 756$.

إذاً، حاصل ضرب أعظم مقسوم مشترك وأصغر مضاعف مشترك بين الأعداد 18 و 42 يُساوي 756.

تستخدم هذه العمليات والمفاهيم الرياضية في حل مشاكل حسابية متعددة، وهي طرق أساسية في الرياضيات العامة وفي فروع مختلفة مثل الجبر والعلم الأولي ونظرية الأعداد.