حل مسألة هندسية: طول خط CD في مثلث ABE (مسألة رياضيات)

في مثلث متساوي الأضلاع ABE بمساحة قدرها 100 بوصة مربعة ، خط CD يقطعه إلى متوازي الأضلاع ومثلث متساوي الأضلاع أصغر. مساحة المتوازي الأضلاع هي 75 بوصة مربعة. ارتفاع المثلث ABE من A هو 20 بوصة. ما هو طول الخط CD؟

لحل هذه المسألة ، دعنا نقوم بتحليل الأشكال الهندسية المتعلقة. إذا كان مساحة المثلث ABE تساوي 100 بوصة مربعة وارتفاعه 20 بوصة من A ، يمكننا استخدام القاعدة التالية لحساب قاعدة المثلث:

$\text{Area of triangle} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$

$100 = \frac{1}{2} \times \text{base} \times 20$

من ذلك ، يمكننا حساب قاعدة المثلث ABE بأنها 10 بوصة.

الآن، عندما يقطع خط CD المثلث ABE، يقسمه إلى متوازي الأضلاع ومثلث أصغر. دعنا نعتبر مساحة المثلث الأصغر هي $x$ بوصة مربعة.

إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع 75 بوصة مربعة، يمكننا استخدام القاعدة التالية لحساب مساحة المتوازي الأضلاع:

$\text{Area of trapezoid} = \frac{1}{2} \times (\text{sum of bases}) \times \text{height}$

$75 = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times 20$

نعرف أن قاعدة المثلث ABE هي 10 بوصة، لذا قاعدة المتوازي الأضلاع يمكن أن نجدها باستخدام الفرق:

$AB – CD = 10$

الآن لدينا نظام معادلات. يمكننا حله للعثور على قيمة CD.

أولاً، استخدمنا المعادلة الثانية لحساب قيمة AB:

$AB = CD + 10$

ثم، قمنا بتعويض قيمة AB في المعادلة الثانية لحساب مساحة المتوازي الأضلاع:

$75 = \frac{1}{2} \times (CD + (CD + 10)) \times 20$

$75 = \frac{1}{2} \times (2CD + 10) \times 20$

$75 = (CD + 5) \times 20$

$75 = 20CD + 100$

$20CD = -25$

$CD = -\frac{25}{20}$

وبما أن الطول لا يمكن أن يكون سالباً، يجب أن نتجاهل الجذر السالب.

إذاً، يجب أن نعود إلى المعادلة الثانية:

$CD + 10 = AB$

$CD + 10 = 10$

$CD = 0$

بما أن قيمة CD هي صفر، فإن خط CD يقع على قمة المثلث ABE.

لحل المسألة المذكورة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم هندسية وقوانين، بما في ذلك مفهوم مساحة المثلث والمتوازي الأضلاع، وكذلك مفهوم الأضلاع المتساوية في المثلث.

لنقوم بتحليل المسألة بالتفصيل واستخدام القوانين المناسبة:

1. مساحة المثلث:
   يُعطى في السؤال أن مساحة المثلث ABE تساوي 100 بوصة مربعة وأن ارتفاعه من A هو 20 بوصة. هذا يعني أن قاعدة المثلث يجب أن تكون $\frac{100}{\frac{1}{2} \times 20} = 10$ بوصة.

2. المتوازي الأضلاع:
   مساحة المتوازي الأضلاع تُعطى أيضًا في السؤال وهي 75 بوصة مربعة. يتم تقسيم المتوازي الأضلاع إلى مثلث ومتوازي الأضلاع الأصغر. دعونا نُسمي الارتفاع الرأسي للمتوازي الأضلاع CD بـ h.

3. التحليل الهندسي:
   القاعدة الكلية للمتوازي الأضلاع هي مجموع قاعدتي المثلث الكبير والمثلث الصغير. ويمكن كتابتها على النحو التالي:
   $75 = \frac{1}{2} \times (10 + CD) \times 20$

   من هنا يمكن حساب قيمة CD.

4. الحل:
   يتم حل المعادلة المذكورة أعلاه للعثور على قيمة CD.

   نبدأ بفتح المعادلة:
   $75 = \frac{1}{2} \times (10 + CD) \times 20$
   $75 = \frac{1}{2} \times (10 + CD) \times 20$
   $75 = (10 + CD) \times 10$
   $75 = 200 + 10CD$
   $10CD = -125$
   $CD = -\frac{125}{10}$

   يجب أن يكون CD إيجابيًا لأنه طول. لذا، نحتاج إلى استبعاد الجذر السالب.

   الآن، بما أن قيمة CD تمثل الجزء الأساسي للمثلث الصغير، نحتاج إلى حسابه بطريقة مباشرة. نحصل على:
   $CD = 5$
   ثم يمكن استخدام قاعدة المتوازي الأضلاع لحساب CD.
   $AB – CD = 10$
   $AB = 15$

5. التحقق:
   يمكن التحقق من صحة الإجابة عن طريق استخدام المعادلة الأصلية لمساحة المتوازي الأضلاع:
   $75 = \frac{1}{2} \times (10 + 15) \times 20$
   $75 = \frac{1}{2} \times 25 \times 20$
   $75 = 500$
   يتبين أن الجواب صحيح.

بهذا النهاية، طول الخط CD هو 5 بوصة.