حل مسألة: نصف قطر المسبح (مسألة رياضيات)

حول مسبح دائري محاط بجدار من الخرسانة بعرض 4 أقدام. إذا كانت مساحة الجدار تمثل 11/25 من مساحة المسبح، فما هو نصف قطر المسبح بالأقدام؟

الحل:

لنقم بتعريف نصف قطر المسبح بـ $r$ قدمًا. إذا كان الجدار يحيط بالمسبح من جميع الجوانب، يزيد قطر المسبح بمقدار 8 أقدام (4 أقدام على كل جانب). لذا، قطر المسبح يكون $2r + 8$.

المساحة الكلية للمسبح تكون مساحة الدائرة، ويمكن حسابها باستخدام العلاقة:

$\text{مساحة المسبح} = \pi r^2$

أما المساحة الكلية للمسبح مع الجدار، فيمكن حسابها بإضافة مساحة الجدار من جميع الجوانب، أي:

$\text{مساحة المسبح مع الجدار} = \pi (2r + 8)^2$

ونعلم أن مساحة الجدار تمثل 11/25 من مساحة المسبح، لذا:

$\pi r^2 \times \frac{11}{25} = \pi (2r + 8)^2$

الآن لنقم بحساب قيمة $r$. نقوم بضرب الطرفين في $\frac{25}{11}$ لتخلصنا من الكسر:

$25 \pi r^2 = 11 \pi (2r + 8)^2$

نقوم بفتح القوس على الطرف الأيمن ونواصل الحسابات:

$25 \pi r^2 = 11 \pi (4r^2 + 32r + 64)$

نقوم بتوسيع العبارة على الطرف الأيمن:

$25 \pi r^2 = 44 \pi r^2 + 352 \pi r + 704 \pi$

نقوم بجمع الأعضاء المتشابهة وترتيب المعادلة:

$0 = 19 \pi r^2 + 352 \pi r + 704 \pi$

نقوم بتقسيم كل جانب على $\pi$ لتبسيط المعادلة:

$0 = 19r^2 + 352r + 704$

نقوم بحل المعادلة السابقة باستخدام الطريقة المناسبة، ونحصل على قيمة $r$.

بالطبع، دعونا نستكمل تفاصيل حل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة.

نبدأ بتحليل المعادلة التي حصلنا عليها:

$0 = 19r^2 + 352r + 704$

هذه معادلة من الدرجة الثانية في $r$، ولحلها، يمكننا استخدام القاعدة الشهيرة المعروفة بصيغة حل المعادلة الثانوية:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a$ و $b$ و $c$ هي معاملات المعادلة الثانوية $ax^2 + bx + c = 0$.

في هذه الحالة:

$a = 19, \quad b = 352, \quad c = 704$

نقوم بتعويض هذه القيم في صيغة حل المعادلة الثانوية:

$r = \frac{-352 \pm \sqrt{352^2 – 4 \times 19 \times 704}}{2 \times 19}$

الآن نقوم بحساب القيم:

$r = \frac{-352 \pm \sqrt{123904 – 26816}}{38}$

$r = \frac{-352 \pm \sqrt{97088}}{38}$

$r = \frac{-352 \pm 312}{38}$

يمكننا الآن حساب القيمتين الممكنتين لـ $r$:

1. عندما نأخذ القيمة الإيجابية:

$r_1 = \frac{-352 + 312}{38} = \frac{-40}{38} = -\frac{20}{19}$

2. عندما نأخذ القيمة السالبة:

$r_2 = \frac{-352 – 312}{38} = \frac{-664}{38} = -\frac{332}{19}$

الملاحظ أن القيمتين هما قيم سالبة، وهو غير مقبول في سياق هذه المسألة، حيث أن النصف القطر يجب أن يكون قيمة موجبة. لذلك، يكون هناك خطأ في المسألة أو في الحسابات.

قد يكون هناك خطأ في وضع المسألة أو في البيانات المعطاة. إذا كانت هناك معلومات إضافية أو توضيحات يمكن تقديمها، يرجى إعلامي بها للمساعدة في حل المسألة بشكل صحيح.