حل مسألة: نسبة حجوم الاسطوانات (مسألة رياضيات)

مستطيل بأبعاد $5 \times 8$ يمكن لفه لتشكيل اسطوانتين مختلفتين بحيث تكون لكل منهما حجوم مختلفة. ما هو نسبة الحجم الأكبر إلى الحجم الأصغر؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة كيفية حساب حجم الاسطوانة. حجم الاسطوانة يتوقف على مساحة القاعدة وارتفاع الاسطوانة. للحساب، نستخدم الصيغة التالية:

$V = \pi r^2 h$

حيث أن $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

بالنظر إلى المستطيل المعطى، يمكن لف طول الضلع الأطول (الضلع طول 8) لتشكيل ارتفاع الأسطوانة وعرض الضلع الأقصر (الضلع طول 5) ليكون قطر القاعدة.

أولاً، لنحسب حجم الاسطوانة الأكبر:
$V_{\text{كبير}} = \pi \times (4)^2 \times 5 = 80\pi$

الآن، لنحسب حجم الاسطوانة الأصغر:
$V_{\text{صغير}} = \pi \times (2.5)^2 \times 8 = 50\pi$

الآن نقوم بحساب النسبة بين حجم الاسطوانة الكبيرة والصغيرة:
$\frac{V_{\text{كبير}}}{V_{\text{صغير}}} = \frac{80\pi}{50\pi} = \frac{8}{5}$

إذاً، النسبة بين الحجم الأكبر والأصغر هي $\frac{8}{5}$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام القوانين الهندسية والجبرية المتعلقة بحساب حجوم الأشكال الهندسية وتحويلها. الخطوات التفصيلية لحل المسألة هي كالتالي:

1. تحديد المتغيرات:

   • الطول والعرض للمستطيل هما 5 و 8 بالترتيب.
   • نصف قطر القاعدة $r$ والارتفاع $h$ للأسطوانات المتشكلة.

2. حساب الحجوم:

   • الحجم $V$ للاسطوانة يتم حسابه بواسطة الصيغة: $V = \pi r^2 h$.

3. تحديد الأبعاد:

   • لأسطوانة الأكبر: نأخذ العرض 8 كقطر للقاعدة والطول 5 كارتفاع.
   • لأسطوانة الأصغر: نأخذ العرض 5 كقطر للقاعدة والطول 8 كارتفاع.

4. حساب الحجوم:

   • للأسطوانة الكبيرة: $V_{\text{كبير}} = \pi \times (4)^2 \times 5 = 80\pi$.
   • للأسطوانة الصغيرة: $V_{\text{صغير}} = \pi \times (2.5)^2 \times 8 = 50\pi$.

5. حساب النسبة:

   • النسبة بين الحجم الأكبر والأصغر هي $\frac{V_{\text{كبير}}}{V_{\text{صغير}}} = \frac{80\pi}{50\pi} = \frac{8}{5}$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

• مساحة القاعدة الدائرية: $\pi r^2$.
• الحجم الأسطواني: $V = \pi r^2 h$.
• التحويل بين المتغيرات الهندسية والأبعاد.

بهذه الخطوات، نكون قد قمنا بحل المسألة وحساب النسبة بين حجم الاسطوانة الكبيرة والصغيرة.