حل مسألة معدلات العمل: ملء الخزان (مسألة رياضيات)

الأنابيب الثلاثة، أ، ب، وج، مرتبطة بخزان. يمكن للأنبوب أ ملء الخزان في 20 دقيقة، والأنبوب ب في 30 دقيقة، بينما يمكن للأنبوب ج أن يفرغه في 20 دقيقة. إذا تم فتح الأنابيب أ، ب، وج بتتابع لمدة 1.5 دقيقة لكل منها، كم من الوقت سيستغرق لملء الخزان؟

لنقم بحساب معدلات العمل لكل أنبوب بالوحدة من الخزان في الدقيقة. يمكن للأنبوب أ ملء الخزان بمعدل 1/20 من الخزان في الدقيقة، والأنبوب ب بمعدل 1/30 من الخزان في الدقيقة، بينما يمكن للأنبوب ج أن يفرغ الخزان بمعدل 1/20 من الخزان في الدقيقة.

المجموع للدقيقة الواحدة عند فتح الأنابيب بتتابع هو:

$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} – \frac{1}{20}$

حيث نقوم بجمع معدلات العمل للأنابيب أ وب وطرح معدل عمل الأنبوب ج. هذا يمثل معدل العمل الناتج من فتح الأنابيب بتتابع.

المجموع الكلي للوقت اللازم لملء الخزان يمكن حسابه عن طريق تقسيم حجم الخزان على المعدل الإجمالي للعمل. وبما أننا نريد ملء الخزان كاملاً، فإن الحجم الإجمالي للخزان يكون 1.

التعبير الكامل للوقت المستغرق يكون:

$\frac{1}{\left(\frac{1}{20} + \frac{1}{30} – \frac{1}{20}\right)}$

الآن، يمكننا حساب هذا العبارة للوصول إلى الوقت النهائي.

في هذه المسألة، نستخدم قوانين العمل وحساب معدلات العمل لحساب الوقت اللازم لملء الخزان. القانون الرئيسي هو أن معدل العمل يتناسب عكسيًا مع الوقت الذي يستغرقه العمل.

لنستخدم القانون التالي: $\text{العمل} = \frac{1}{\text{الزمن}}$

1. حساب معدل العمل لكل أنبوب:

   • للأنبوب أ: $\text{معدل العمل}_{\text{أ}} = \frac{1}{20}$
   • للأنبوب ب: $\text{معدل العمل}_{\text{ب}} = \frac{1}{30}$
   • للأنبوب ج: $\text{معدل العمل}_{\text{ج}} = -\frac{1}{20}$ (نلاحظ أنه سلبي لأن الأنبوب ج يفرغ الخزان)

2. حساب المعدل الإجمالي عند فتح الأنابيب بتتابع:

   • المعدل الإجمالي: $\text{معدل العمل الإجمالي} = \text{معدل العمل}_{\text{أ}} + \text{معدل العمل}_{\text{ب}} + \text{معدل العمل}_{\text{ج}}$

   يمكننا حساب هذا الرقم بوضع القيم في المعادلة:
   $\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} – \frac{1}{20}$

3. حساب الزمن النهائي:

   • الزمن النهائي $t$ يمكن حسابه باستخدام العلاقة: $\text{العمل} = \frac{1}{\text{الزمن}}$
     $t = \frac{1}{\text{معدل العمل الإجمالي}}$

   يمكننا وضع القيمة التي حسبناها في الخطوة السابقة للمعدل الإجمالي في هذه المعادلة للحصول على الزمن النهائي.

بهذا، نكون قد استخدمنا قوانين العمل وحساب المعدلات لحل المسألة والعثور على الزمن الذي يستغرقه فتح الأنابيب بتتابع لملء الخزان.