حل مسألة: مستقيم متعامد ومنتصف القطعة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب منا إيجاد قيمة $b$ حيث أن المستقيم $x+y=b$ يشكل محوراً رأسياً متعامداً يمر عبر منتصف القطعة التي تربط النقطتين $(0,3)$ و $(6,9)$.

نبدأ بحساب منتصف القطعة التي تربط النقطتين المعطاة. لحساب منتصف القطعة، نأخذ متوسط قيم $x$ ومتوسط قيم $y$ للنقطتين.

لذا،

الآن، نحتاج إلى معرفة الميل الذي يمثل القطعة الممتدة بين النقطتين $(0,3)$ و $(6,9)$. الميل يُحسب بالتالي:

المستقيم الذي معادلته $x+y=b$ يمثل خطاً متعامداً على المستقيم الذي يمثل القطعة. الميل المتعامد على الميل المعطى هو $-1$ (المقلوب والمعكوس). لذا، الميل المتعامد هو $-1$.

الآن، نستخدم نقطة واحدة على المنتصف الذي حسبناه، وهو $(3, 6)$، لحساب $b$ في المعادلة $x+y=b$. نضع قيم $x$ و $y$ ونحسب $b$:

لذا، قيمة $b$ هي 9.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $b$، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم رياضية وقوانين هندسية. هذه القوانين تشمل:

1. مفهوم المنتصف: لحساب منتصف القطعة التي تربط بين النقطتين، نستخدم معادلة:
   $(\text{منتصف القطعة}) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
   هذه العملية تعطينا نقطة تقع في منتصف القطعة.

2. ميل القطعة: نستخدم ميل القطعة لحساب تغيّر الإرتفاع مقابل التغيّر في الطول. ميل القطعة يُحسب كمعدل التغيّر في الإرتفاع مقابل التغيّر في الطول:
   $\text{الميل} = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

3. ميل المتعامد: الميل المتعامد على ميل معين هو العدد السالب للمقلوب من الميل الأصلي. يمكن استخدام هذا المفهوم لتحديد ميل متعامد للقطعة.

4. العلاقة بين المستقيمين المتعامدين: المستقيمان المتعامدين يمثلان ميلين متعامدين. إذا كان ميل المستقيم الأول $m_1$ وميل المستقيم المتعامد $m_2$، فإن $m_1 \times m_2 = -1$.

الآن، باستخدام هذه القوانين، نبدأ بحساب الميل للقطعة ومن ثم نجد ميل المتعامد. بعد ذلك، نستخدم نقطة واحدة على المنتصف التي حسبناها لحساب قيمة $b$ في المعادلة المطلوبة.

باستخدام هذه العمليات الرياضية، نستطيع حل المسألة وتحديد قيمة $b$ بشكل دقيق.