حل مسألة: مسافة الابن من الأب في تشابه المثلثات (مسألة رياضيات)

في محطة الحافلات، ينتظر أب وابنه في المساء، وراءهما عمود إنارة. يقف العمود والأب وابنه على نفس الخط المستقيم، حيث يلاحظ الأب أن ظل رأسه ورأس ابنه يتقاطعان في نقطة واحدة على الأرض. إذا كانت أطوال العمود والأب وابنه تبلغ 6 أمتار و1.8 متر و0.9 متر على التوالي، وكان الأب يقف على بعد 2.1 متر من العمود، فكم يبعد الابن عن والده بالأمتار؟

الحلا: لنقم بحساب المسافة بين رأس الأب ورأس ابنه.

إذاً، نحتاج إلى استخدام تشابه الأشكال بين المثلثات المتشابهة. المثلثات هي المثلث الكبير الذي يتكون من العمود والأب وابنه، والمثلث الصغير الذي يتكون من الأب وابنه.

نعلم أن:

1. طول العمود = 6 متر
2. طول الأب = 1.8 متر
3. طول الابن = 0.9 متر
4. المسافة بين الأب والعمود = 2.1 متر

نطبق قانون التشابه:

$\frac{{\text{طول الجزء المواجه للأب في المثلث الصغير}}}{{\text{طول الجزء المواجه للأب في المثلث الكبير}}} = \frac{{\text{طول الجزء المواجه للابن في المثلث الصغير}}}{{\text{طول الجزء المواجه للابن في المثلث الكبير}}}$

نعوض القيم:

$\frac{x}{{2.1 + x}} = \frac{0.9}{6}$

نقوم بحساب قيمة $x$، وهي المسافة التي يبعد فيها الابن عن والده.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون التشابه بين المثلثات المتشابهة. المثلثات المتشابهة هي تلك التي لديها زوايا متساوية ونسب طولية متناسبة. في هذه المسألة، يمكننا استخدام تشابه المثلثات بين المثلث الكبير والمثلث الصغير لحساب المسافة بين الأب وابنه.

لنعيد صياغة المعطيات:

• طول العمود = 6 متر.
• طول الأب = 1.8 متر.
• طول الابن = 0.9 متر.
• المسافة بين الأب والعمود = 2.1 متر.

سنقوم بتحديد النسب بين الأضلاع المتناظرة في المثلثين. لنعتبر $x$ هو المسافة بين الأب وابنه.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التشابه بين المثلثات:
   $\frac{{\text{طول الجزء المواجه للأب في المثلث الصغير}}}{{\text{طول الجزء المواجه للأب في المثلث الكبير}}} = \frac{{\text{طول الجزء المواجه للابن في المثلث الصغير}}}{{\text{طول الجزء المواجه للابن في المثلث الكبير}}}$

2. قانون الجمع في المثلث:
   مجموع طولين من أضلاع المثلث يساوي الطول الثالث.

الآن، نقوم بتطبيق القوانين:

$\frac{x}{{2.1 + x}} = \frac{0.9}{6}$

نقوم بحساب قيمة $x$ عبر حل المعادلة. قد يكون مناسبًا استخدام التبسيط قبل حل المعادلة:

$\frac{x}{{2.1 + x}} = \frac{0.9}{6}$

نقوم بضرب الطرفين في مضاعف مشترك للتخلص من المقام:

$6x = 0.9 \times (2.1 + x)$

نحسب قيمة $x$ وبالتالي المسافة بين الأب وابنه. يمكننا استخدام قاعدة الجمع في المثلث للتحقق من صحة الإجابة:

$2.1 + x = 2.1 + \text{قيمة } x$