حل مسألة: مساحة ومحيط الغرفة المستطيلة (مسألة رياضيات)

يوجد غرفة مستطيلة لها محيط بطول 42 قدمًا ومساحة تبلغ 108 قدم مربعة، ما هو طول الضلع الأقصر للغرفة؟

لنقوم بتسمية الطول بـ $l$ والعرض بـ $w$ للغرفة.

نعلم أن محيط الغرفة يساوي ضعف مجموع الطول والعرض:
$2(l + w) = 42$

ونعلم أيضًا أن مساحة الغرفة تساوي طولها مضروبًا في عرضها:
$lw = 108$

لنقم بحل المعادلات المتمثلة في النظام المكون من المعادلاتين أعلاه للعثور على قيم $l$ و $w$.

أولاً، يمكننا استخدام المعادلة الأولى لحساب قيمة $w$ بالتالي:
$w = \frac{42 – 2l}{2} = 21 – l$

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية:
$l(21 – l) = 108$
$21l – l^2 = 108$
$l^2 – 21l + 108 = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة الثانوية باستخدام طريقة الجذور التربيعية أو الكماليات. يمكننا أيضًا استخدام القسمة للعثور على الجذرين.

$l = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 – 4 \cdot 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$
$l = \frac{21 \pm \sqrt{441 – 432}}{2}$
$l = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2}$
$l = \frac{21 \pm 3}{2}$

بالتالي، لدينا اثنين من الحلول المحتملة:
$l_1 = \frac{21 + 3}{2} = 12$
$l_2 = \frac{21 – 3}{2} = 9$

إذاً، يمكننا أن نرى أن القيمة $l = 9$ تمثل الضلع الأقصر، لذا طول الضلع الأقصر للغرفة هو 9 قدمًا.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. الهدف هو إيجاد قيمة الضلع الأقصر للغرفة المستطيلة باستخدام المعلومات المتاحة حول محيط الغرفة ومساحتها.

القوانين المستخدمة:

1. مفهوم المحيط الدائري للمستطيل:
   محيط المستطيل يُحسب بجمع جميع أطوال أضلاعه. في هذه المسألة، يُعطى محيط الغرفة وهو 42 قدمًا. يُمكن تمثيل هذا بالمعادلة:
   $2(l + w) = 42$
   حيث $l$ هو الطول و $w$ هو العرض.

2. مفهوم مساحة المستطيل:
   مساحة المستطيل يُحسب بضرب الطول في العرض. في هذه المسألة، يُعطى مساحة الغرفة وهي 108 قدم مربع. يُمكن تمثيل هذا بالمعادلة:
   $lw = 108$

3. حل المعادلات:
   يُمكن حل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم $l$ و $w$، حيث $l$ هو الطول و $w$ هو العرض.

الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نستخدم معادلة المحيط لتعبير عن العرض بالنسبة للطول:
$w = 21 – l$

ثانيًا، نستخدم هذه القيمة في معادلة المساحة:
$l(21 – l) = 108$
$l^2 – 21l + 108 = 0$

ثالثًا، نستخدم القاعدة الثنائية لحل المعادلة الثانوية. باستخدام الجذر التربيعي أو القسمة لحساب القيم الممكنة لـ $l$.

رابعًا، نحدد القيمة المناسبة لـ $l$ التي تمثل الطول بشكل صحيح للغرفة.

خامسًا، بعد حساب قيمة $l$، يمكن استخدامها لحساب قيمة العرض باستخدام أحد معادلات المسح المذكورة أعلاه.

وأخيرًا، بعد حساب الطول والعرض، يمكننا تحديد الضلع الأقصر للغرفة بناءً على الأبعاد المعروفة.