حل مسألة: مساحة دائرة ومحيط مربع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تقول: وجد هايز أثناء ممارسة الرياضيات لامتحاناته القادمة أن مساحة دائرة قد حلها مساوية لمحيط مربع قد حله في المسألة السابقة. إذا كانت مساحة الدائرة تساوي x، وكانت طول ضلع المربع 25. ما هو قيمة المتغير x المجهول؟

لنحل المسألة:

لنبدأ بحساب محيط المربع، والذي يساوي 4 مضاعفات طول الضلع، لذا:

محيط المربع = 4 × طول الضلع = 4 × 25 = 100

الآن، بما أن محيط المربع يساوي مساحة الدائرة، نستخدم العلاقة التالية لحساب مساحة الدائرة:

مساحة الدائرة = π × (نصف قطر الدائرة)²

ونعلم أن نصف قطر الدائرة هو نصف طول قطر الدائرة، والذي يكون مساويًا لنصف طول ضلع المربع، لأن قطر المربع يمر عبر مركز الدائرة.

إذاً، نصف قطر الدائرة = نصف طول ضلع المربع = 25 ÷ 2 = 12.5

الآن، يمكننا حساب مساحة الدائرة باستخدام القيم التي حصلنا عليها:

مساحة الدائرة = π × (12.5)²

= π × (156.25)

= 156.25π

وبما أن القيمة المعروفة لمساحة الدائرة هي x، فإننا نجد أن:

x = 156.25π

وهذه هي القيمة للمساحة التي يمكن أن تحقق المعادلة حيث تكون مساحة الدائرة تساوي محيط المربع والذي هو 100.

لحل المسألة واستنتاج قيمة المتغير $x$ بالتفصيل، يمكننا استخدام العلاقات الرياضية التالية:

1. لحساب محيط المربع:
   محيط المربع = $4 \times$ طول الضلع

2. لحساب مساحة الدائرة:
   مساحة الدائرة = $\pi \times (\text{نصف قطر الدائرة})^2$

أولاً، لنحسب محيط المربع، حيث يكون طول ضلع المربع 25:
$\text{محيط المربع} = 4 \times 25 = 100$

الآن، نعلم أن محيط المربع يساوي مساحة الدائرة. ولحساب مساحة الدائرة، نحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة.

نصف قطر الدائرة يكون نصف طول ضلع المربع، لأن القطر يمر عبر مركز الدائرة. إذاً:
$\text{نصف قطر الدائرة} = \frac{\text{طول ضلع المربع}}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$

الآن، يمكننا استخدام هذا النصف قطر لحساب مساحة الدائرة:
$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times (12.5)^2 = \pi \times 156.25$

وبما أن مساحة الدائرة تساوي $x$، نجد أن:
$x = 156.25\pi$

هذه هي القيمة لمساحة الدائرة التي تحقق المعادلة حيث تكون مساحة الدائرة تساوي محيط المربع، الذي هو 100.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب محيط المربع: محيط المربع يساوي ضعف مجموع طول الضلوع.
2. قانون حساب مساحة الدائرة: مساحة الدائرة تُحسب بضرب القيمة $\pi$ في مربع نصف قطر الدائرة.