حل مسألة مثلث قائم: طول الضلع الأقصر بطريقة فيثاغورث (مسألة رياضيات)

في مثلث قائم الزاوية، حيث تكون أطوال الأضلاع عدد صحيح، يبلغ طول الوتر 39 وحدة. ما هو طول الضلع الأقصر؟

لنقم بحساب طول الضلع الأقصر، يمكننا اللجوء إلى نظرية فيثاغورس التي ترتبط بالمثلثات القائمة. في مثلث قائم الزاوية، يتبع علاقة فيثاغورث:

$c^2 = a^2 + b^2$

حيث $c$ هو طول الوتر (الوتر هو الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة)، و $a$ و $b$ هما أطوال الضلعين الآخرين. في هذه الحالة، نعلم أن $c = 39$، ونريد حساب قيمة إحدى الأضلاع ($a$ أو $b$).

سنقوم بتجريب الأعداد للعثور على حل صحيح. لنجرب البداية قيمًا ممكنة للضلع $a$، ونستخدم العلاقة أعلاه لحساب الضلع $b$. سنستمر في التجريب حتى نجد حلا صحيحًا. سنحتفظ بتلك القيمة كطول للضلع الأقصر.

لنقم بحساب طول الضلع الأقصر:

$39^2 = a^2 + b^2$

$1521 = a^2 + b^2$

سنقوم الآن بتجريب الأعداد حتى نجد حلا صحيحاً:

$1^2 + 38^2 = 1 + 1444 = 1445$

$2^2 + 37^2 = 4 + 1369 = 1373$

$3^2 + 36^2 = 9 + 1296 = 1305$

$4^2 + 35^2 = 16 + 1225 = 1241$

$5^2 + 34^2 = 25 + 1156 = 1181$

$6^2 + 33^2 = 36 + 1089 = 1125$

$7^2 + 32^2 = 49 + 1024 = 1073$

$8^2 + 31^2 = 64 + 961 = 1025$

$9^2 + 30^2 = 81 + 900 = 981$

$10^2 + 29^2 = 100 + 841 = 941$

$11^2 + 28^2 = 121 + 784 = 905$

$12^2 + 27^2 = 144 + 729 = 873$

$13^2 + 26^2 = 169 + 676 = 845$

$14^2 + 25^2 = 196 + 625 = 821$

$15^2 + 24^2 = 225 + 576 = 801$

$16^2 + 23^2 = 256 + 529 = 785$

$17^2 + 22^2 = 289 + 484 = 773$

$18^2 + 21^2 = 324 + 441 = 765$

$19^2 + 20^2 = 361 + 400 = 761$

نجد أن $18^2 + 21^2 = 765$، لذا طول الضلع الأقصر هو 18 وحدة.

بالطبع، سأقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل والإشارة إلى القوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بمثلث قائم الزاوية، ويشير الشرط إلى أن أطوال أضلاعه هي أعداد صحيحة. الهدف هو حساب طول الضلع الأقصر في هذا المثلث.

نستخدم قانون فيثاغورث لحساب طول الضلع الثالث في المثلث القائم. قانون فيثاغورث ينص على أن في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. العلاقة الرياضية لها الصيغة التالية:

$c^2 = a^2 + b^2$

حيث:

• $c$ هو طول الوتر (الوتر هو الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة).
• $a$ و $b$ هما أطوال الضلعين الآخرين.

في هذه المسألة، نُعطى أن طول الوتر $c$ هو 39 وحدة. نريد حساب طول أحد الأضلاع ($a$ أو $b$). للقيام بذلك، يمكننا تجريب الأعداد للعثور على حل صحيح.

نبدأ بتجريب الأعداد، ونستخدم العلاقة:

$39^2 = a^2 + b^2$

نقوم بتجريب قيم مختلفة لـ $a$ ونحسب قيمة $b$ بواسطة العلاقة أعلاه. نواصل حتى نجد حلا صحيحًا. في هذا السياق، نجد أن القيم $a = 18$ و $b = 21$ هي الحلا لأن $18^2 + 21^2 = 765$، وهو يطابق مربع طول الوتر $39^2$.

لذا، طول الضلع الأقصر هو 18 وحدة. يُلاحظ أن هذه القيم تحقق شرط الأعداد الصحيحة وتطابق قانون فيثاغورث.