حل مسألة: مثلث قائم الزاوية وقانون الجيب (مسألة رياضيات)

في المثلث $PQR$: $\angle Q = 30^\circ$, $\angle R = 105^\circ$, و $PR = 4\sqrt{2}$. نريد إيجاد طول الضلع $QR$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين المثلثات وخاصة قانون الجيب (قانون الأسين). يُمكننا استخدام قانون الجيب لحساب الضلع $QR$، حيث يُمكننا الكتابة بالشكل التالي:

حيث:

• $Q$ هو زاوية المثلث عند الرأس $Q$.
• $R$ هو زاوية المثلث عند الرأس $R$.
• $PR$ هو طول الضلع المقابل للزاوية $R$.
• $QR$ هو الضلع الذي نريد حساب طوله.

نعلم أن $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ و $\sin 105^\circ$، لكن للأسف ليس لدينا قيمة مباشرة لهذا الجيب، لكن يمكننا استخدام تقدير للزاوية.

نبدأ بحساب قيمة $\sin 105^\circ$، ولكن قبل ذلك نقوم بتقدير قيمة قريبة لها. نلاحظ أن $\sin 90^\circ = 1$ و $\sin 180^\circ = 0$. بالتالي، نعلم أن $\sin 105^\circ$ سيكون قريباً من القيمة الوسيطة بين $90^\circ$ و $180^\circ$.

الآن، نستخدم معرفتنا بقوانين الجيب:

الآن نستطيع حساب قيمة $QR$:

الآن نقوم بحساب $QR$:

لذلك، الجواب هو $QR = \frac{{4\sqrt{6}}}{{3}}$.

لحل المسألة التي تتعلق بمثلث $PQR$ حيث $\angle Q = 30^\circ$, $\angle R = 105^\circ$, و $PR = 4\sqrt{2}$، سنحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الهندسية.

1. قانون الجيب (قانون الأسين):
   يُعتبر قانون الجيب من أهم القوانين في الهندسة الرياضية، وهو يتيح لنا حساب أطوال الأضلاع أو قياسات الزوايا في المثلثات. ينص القانون على أن نسبة طول ضلع من المثلث إلى جيب زاوية مقابلة له متساوية مع نسبة طول آخر ضلع من المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له.

2. مفهوم الزوايا في المثلث:
   نستخدم معرفتنا بقوانين المثلثات والمعارف حول مجموع درجات الزوايا في المثلث، حيث يكون مجموع زوايا المثلث دائماً مساوياً لـ $180^\circ$.

3. تقدير القيم:
   في بعض الأحيان، يجب علينا تقدير القيم المعقدة مثل قيم الجيب للزوايا التي ليس لدينا قيمة محسوسة لها، وذلك باستخدام القيم المعروفة والتقديرات المناسبة.

الخطوات في حل المسألة هي كالتالي:

1. استخدم قانون الجيب لحساب الضلع المجهول $QR$.
2. قم بتحديد الجيب للزاويتين المعطاة ($\sin 30^\circ$ و $\sin 105^\circ$).
3. استخدم القيم المعطاة للجيب لحساب الضلع $QR$ باستخدام قانون الجيب.

بالتالي، الحل يتطلب الفهم الجيد لهذه القوانين والمفاهيم، والقدرة على تطبيقها بدقة للوصول إلى الإجابة الصحيحة.