حل مسألة: متوسط ووسيط الأعداد (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كالتالي:

لدينا مجموعة من ثلاثة أرقام تتمتع بمتوسط ووسيط يساويان 4، وأصغر عدد في المجموعة هو 1، ما هو نطاق المجموعة من الأرقام؟

لحل هذه المسألة، دعنا نفترض أن الأرقام في المجموعة هي $1, x, y$. حيث $x$ و $y$ هما العددين الآخرين في المجموعة.

من المعطيات المعطاة، يعرفنا أن متوسط المجموعة هو 4، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{{1 + x + y}}{3} = 4$

من هذه المعادلة، يمكننا حساب قيمة $x + y$، والتي ستكون:

$1 + x + y = 12$

وبالتالي:

$x + y = 11$

الآن، يعرفنا أن أصغر عدد في المجموعة هو 1، لذا يجب أن يكون $x$ و $y$ أكبر من 1. لكننا أيضًا نعرف أن المتوسط يساوي 4، لذا لا يمكن أن يكون العددين $x$ و $y$ أكبر من 4.

الآن، من المعطيات نعرف أيضا أن الوسيط يساوي 4، وهو العدد الأوسط إذا قمنا بترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي. ومنذ أن أصغر عدد هو 1، يجب أن يكون $x$ أو $y$ هو 4.

لكن $x$ و $y$ لا يمكن أن يكونا متساويين، لأنه في هذه الحالة، الوسيط سيكون الرقم الوسطي بينهما، وبالتالي سيكون أكبر من 4.

لذا، لابد أن يكون أحد الأعداد $x$ أو $y$ يساوي 4، والآخر يكون أكبر من 4. وبما أن الأصغر هو 1، فإن الأكبر منهما هو 7 (لأن $7 + 1 = 8$ وهذا يكون أكبر من 4).

إذاً، قيمة العددين $x$ و $y$ هي 4 و 7.

الآن، يمكننا حساب نطاق المجموعة عن طريق حساب الفارق بين أكبر عدد (7) وأصغر عدد (1).

إذاً، النطاق = العدد الأكبر – العدد الأصغر = 7 – 1 = 6.

لذا، نطاق المجموعة من الأرقام هو 6.

في هذه المسألة، نقوم بحساب مجموعة من الأعداد باستخدام معلومات حول متوسطها ووسيطها، مع الاعتبار أن أصغر عدد في المجموعة هو 1.

لحل هذه المسألة، نستخدم القوانين الأساسية للمتوسط والوسيط ونطبقها كما يلي:

1. المتوسط (Mean):
   المتوسط هو مجموع الأعداد مقسوما على عددها. في هذه الحالة، نستخدم المعادلة التالية لحساب المتوسط:
   $\text{المتوسط} = \frac{{\text{مجموع الأعداد}}}{{\text{عددها}}}$

2. الوسيط (Median):
   الوسيط هو العدد الوسطي عندما تكون الأعداد مرتبة بترتيب تصاعدي أو تنازلي. في هذه الحالة، حيث لدينا عدد فردي من الأعداد، الوسيط هو العدد الواقع في النصف الأوسط من العدد الكلي للأعداد عند ترتيبها.

3. النطاق (Range):
   النطاق هو الفارق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة من الأعداد.

الآن، لنقم بحساب الحل بالتفصيل:

أولاً، نعرف أن المتوسط والوسيط متساويان ويساويان 4.

ثانياً، نعرف أن العدد الأصغر في المجموعة هو 1.

نقوم بتمثيل الأعداد بالتسلسل: 1, x, y.

نستخدم المتوسط لحساب قيمة $x + y$، والتي يجب أن تكون 11 (لأن المجموعة تحتوي على ثلاثة أعداد ومتوسطها 4).

لذا، 1 + x + y = 12، ومنها x + y = 11.

بمراعاة أن العدد الأصغر هو 1، فإن العددين $x$ و $y$ يجب أن يكونا أكبر من 1.

من المتوسط، نعرف أن إما $x$ أو $y$ يجب أن يكونا 4. ولكون الوسيط هو 4، والعدد الأصغر هو 1، فإن العدد الآخر يجب أن يكون أكبر من 4.

وبما أن العدد الأصغر هو 1 والعدد الأكبر هو 7، نعرف الآن قيم $x$ و $y$.

الآن، نحسب النطاق ببساطة عن طريق طرح العدد الأكبر (7) من العدد الأصغر (1).

إذاً، النطاق = 7 – 1 = 6.

إذاً، النطاق لهذه المجموعة هو 6.