حل مسألة: عمق الآيس كريم المنصهر (مسألة رياضيات)

نُلقي كرة من الآيس كريم الفانيليا التي لها نصف قطر يساوي ٢ بوصة على صلصة الشوكولاتة الساخنة، وبما أنه يذوب، يمتد بشكل موحد ليشكل منطقة اسطوانية لها نصف قطر يساوي ٨ بوصة. بناءً على افتراض ثبات كثافة الآيس كريم، ما هو عمق الآيس كريم المنصهر، بالتعبير عنه بكسر مشترك؟

لنقم أولاً بحساب حجم الآيس كريم الأصلي والحجم الذي تشكله بعد الذوبان. حجم الكرة الأصلية يُعطى بالمعادلة:

$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $r = 2$ بوصة، إذًا:
$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{32}{3} \pi \text{ بوصة}^3$

المنطقة الاسطوانية بعد الذوبان يمكن حساب حجمها باستخدام المعادلة:

$V_{\text{اسطوانة}} = \pi r^2 h$

حيث $r = 8$ بوصة، ونحتاج إلى معرفة الارتفاع $h$.

نعلم أن حجم الكرة الأصلي يتحول إلى حجم الاسطوانة بعد الذوبان، لذلك:

$V_{\text{كرة}} = V_{\text{اسطوانة}}$

وبالتالي:

$\frac{32}{3} \pi = \pi (8)^2 h$
$\frac{32}{3} = 64h$
$h = \frac{32}{3 \times 64} = \frac{1}{6}$

إذاً، العمق المطلوب للآيس كريم المنصهر هو $\frac{1}{6}$ بوصة.

لحل المسألة، استخدمنا مفهوم حساب حجوم الأشكال الهندسية، بالإضافة إلى قوانين الهندسة الأساسية للكرات والأسطوانات.

1. حجم الكرة (الكرة الأصلية):
   قانون كرة:
   $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r^3$
   حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

2. حجم الاسطوانة (بعد الذوبان):
   قانون الاسطوانة:
   $V_{\text{اسطوانة}} = \pi r^2 h$
   حيث $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

3. المساواة بين حجم الكرة وحجم الاسطوانة:
   نحصل على المساواة التالية بالمقارنة بين حجم الكرة الأصلية وحجم الاسطوانة بعد الذوبان:
   $V_{\text{كرة}} = V_{\text{اسطوانة}}$

4. الحساب والتبسيط:
   نقوم بوضع القيم المعطاة في المسألة ونحل المعادلة للعثور على الارتفاع $h$ الذي يمثل عمق الآيس كريم المنصهر.

تمثلت الخطوات في حساب حجم الكرة الأصلية، ثم استخدمنا المساواة بين حجم الكرة وحجم الاسطوانة لحساب الارتفاع $h$ بعد الذوبان.

بالتالي، باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تم حساب العمق المطلوب للآيس كريم المنصهر والذي كان يساوي $\frac{1}{6}$ بوصة.