حل مسألة: عدد المرشحين في الانتخابات

يوجد لجنة طلابية مكلفة بضمان النزاهة الأكاديمية، ولديهم 132 طريقة لاختيار رئيس ونائب رئيس من بين مجموعة من المرشحين. ولا يمكن لنفس الشخص أن يكون واحدًا ورئيسًا ونائب رئيس في نفس الوقت. يُريد معرفة عدد المرشحين.

لنقم بتسمية عدد المرشحين بـ “ن”، إذاً يتوافر لدينا 132 طريقة لاختيار رئيس ونائب رئيس من بين هؤلاء المرشحين. يمكننا استخدام مبدأ العد والجمع لحل المشكلة.

عند اختيار رئيس، يمكننا اختيار أحد المرشحين من بين “ن” مرشحًا. بعد ذلك، وبما أن الشخص نفسه لا يمكن أن يكون نائب رئيس ورئيس في نفس الوقت، يتبقى “ن-1” مرشحًا لاختيار النائب الرئيسي.

لذا، إجمالاً، يمكننا حساب عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس كالتالي:

عدد الطرق = عدد الطرق لاختيار الرئيس × عدد الطرق لاختيار النائب الرئيس

وبما أن عدد الطرق الإجمالي هو 132، يمكننا كتابة المعادلة:

ن × (ن – 1) = 132

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة “ن”، وهي عدد المرشحين.

ن × ن – ن = 132

ن^2 – ن – 132 = 0

الآن يمكننا حل المعادلة الثانوية باستخدام الصيغة العامة:

ن = [-(-1) ± √((-1)^2 – 4(1)(-132))] / (2(1))

ن = [1 ± √(1 + 528)] / 2

ن = [1 ± √529] / 2

ن = [1 ± 23] / 2

الآن لنرى الحالتين:

1. ن = (1 + 23) / 2 = 24 / 2 = 12
2. ن = (1 – 23) / 2 = -22 / 2 = -11

بما أن عدد المرشحين لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن القيمة المناسبة هي “ن = 12”.

إذاً، يوجد 12 مرشحًا لمنصب الرئيس والنائب الرئيس.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام مفهومات من الرياضيات المجردة والجمعيات. سنستخدم قاعدة العد والجمع للحسابات الكمية والاستنتاجات المنطقية.

فلنعتبر عدد المرشحين الذين نريد حسابهم هو “ن”. عندما نقوم باختيار رئيس، يمكننا اختيار أي شخص من بين “ن” مرشحًا. بعد هذا الاختيار، يتبقى “ن-1” مرشحًا للاختيار كنائب رئيس.

تطبيقًا لقاعدة العد والجمع، يمكننا حساب عدد الطرق الإجمالي لاختيار رئيس ونائب رئيس:

$\text{عدد الطرق الإجمالي} = \text{عدد الطرق لاختيار الرئيس} \times \text{عدد الطرق لاختيار النائب الرئيس}$

وحسب الشرط المفروض في المسألة، يجب أن يكون لدينا:

$ن \times (ن-1) = 132$

حيث أن 132 هو إجمالي عدد الطرق. يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة “ن”.

$ن^2 – ن – 132 = 0$

لحل هذه المعادلة، نستخدم الصيغة العامة لحلاقل من درجة ثانية:

$ن = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في هذه المعادلة، $a = 1$ و $b = -1$ و $c = -132$، لذلك:

$ن = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 132}}{2}$

$ن = \frac{1 \pm \sqrt{529}}{2}$

$ن = \frac{1 \pm 23}{2}$

الحلول الناتجة هي:

1. $ن = \frac{1 + 23}{2} = 12$
2. $ن = \frac{1 – 23}{2} = -11$

ولكن لا يمكن أن يكون عدد المرشحين سالبًا، لذلك نستبعد الحلا الثاني. إذاً، يوجد 12 مرشحًا للمنصبين.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة العد والجمع: تستخدم لحساب الطرق الممكنة لتحقيق أحداث معينة.
2. المفهوم الرياضي للاختيار: تمثله قاعدة $nCr$ وهي عبارة عن عدد الطرق لاختيار مجموعة من $r$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.
3. المفهوم الجمعي للاحتمالات المتعددة: عندما يكون هناك عدة خطوات لتحقيق هدف معين، نقوم بجمع الاحتماليات لكل خطوة للوصول إلى الإجمالي.