حل مسألة رياضية: مجموع التربيعين والضرب (مسألة رياضيات)

من المعطيات المعطاة، نفهم أن لدينا عددين صحيحين موجبين، ويكون مجموع تربيعيهما هو 193، وضربهما هو 84. لنمثل هذين العددين بشكل علمي، فلنقل أن العدد الأول يكون $x$ والعدد الثاني يكون $y$.

نقوم بكتابة المعادلتين استنادًا إلى المعطيات:

1. مجموع التربيعين: $x^2 + y^2 = 193$
2. الضرب: $xy = 84$

الآن، سنبدأ بحل هذه المعادلات. للتبسيط، يمكننا استخدام المعادلة الأولى للعثور على قيمة إحدى المتغيرات بناءً على الثانية.

نلاحظ أن 193 يمكن تمثيلها بشكل متقارب إلى جذر تربيعي لعدد صحيح. وبالتحقق، نجد أن $193 = 13^2 + 4^2$. لذلك، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$x^2 + y^2 = (13^2 + 4^2)$

الآن، نستطيع تعويض قيمة $x^2 + y^2$ في المعادلة الأولى:

$(13^2 + 4^2) = 193$

وهذا يعني أن:

$x^2 + y^2 = 169 + 16$

الآن، يمكننا كتابة المعادلة:

$x^2 + y^2 = 169 + 16$

ونعلم أن $xy = 84$

من المعادلة الثانية، يمكننا حل لأحد المتغيرين، فلنحسب قيمة $x$:

$x = \frac{84}{y}$

الآن، نستبدل هذه القيمة في المعادلة الأولى:

$(\frac{84}{y})^2 + y^2 = 185$

بتوسيع هذه المعادلة، نحصل على:

$\frac{7056}{y^2} + y^2 = 193$

نضرب في $y^2$ لتجنب الكسور:

$7056 + y^4 = 193y^2$

ونقلب الناتج للجهة الأخرى:

$y^4 – 193y^2 + 7056 = 0$

الآن، يمكننا استخدام تقنيات حل المعادلات الرباعية للعثور على قيمة $y$، ثم نستخدمها لحساب قيمة $x$. سأقوم بتجاوز هذه الخطوة التفصيلية وتقديم القيم النهائية.

بعد حسابات مطولة، يتبين أن الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق المعطيات هي $x = 7$ و $y = 12$.

أخيرًا، نجمع العددين للحصول على المطلوب:

$x + y = 7 + 12 = 19$

إذًا، مجموع العددين هو 19.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية ونعتمد على بعض القوانين والتقنيات. دعونا نبدأ بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة.

الخطوة 1: تمثيل المعطيات بمعادلات رياضية

في هذه المسألة، نمثل العددين ب$x$ و$y$. ثم نقوم بكتابة معادلتين استنادًا إلى المعطيات:

1. مجموع التربيعين: $x^2 + y^2 = 193$
2. الضرب: $xy = 84$

الخطوة 2: استخدام القوانين الجبرية والرياضية

• نستخدم قاعدة التفكيك لتقديم 193 كمجموعة من التربيعات: $193 = 13^2 + 4^2$.
• نستخدم قاعدة ضرب المتغيرين لتقديم الضرب: $xy = 84$.
• نستخدم التعويض لتبسيط المعادلات والبحث عن قيم المتغيرات.

الخطوة 3: حل المعادلات الجبرية

• نحل المعادلة $x^2 + y^2 = 193$ باستخدام القوانين الجبرية للأعداد الصحيحة.
• نستخدم المعلومات المعطاة لتحويل المعادلة إلى معادلة رباعية في $y$.
• نستخدم تقنيات حل المعادلات الرباعية للعثور على قيم $y$.
• نستخدم القاعدة $xy = 84$ لحساب قيمة $x$.

الخطوة 4: الإجابة النهائية

• نجمع القيمة المحسوبة لـ $x$ و $y$ للحصول على مجموع العددين.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة التفكيك: تقديم عدد كمجموعة من تربيعات.
2. ضرب المتغيرين: تحويل الضرب إلى معادلة.
3. حل المعادلات الجبرية: استخدام القوانين لحل المعادلات التي تتضمن تربيعات.
4. تقنيات حل المعادلات الرباعية: استخدام أساليب حل المعادلات الرباعية للعثور على القيم الممكنة.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات، نحن قادرون على حل المسألة بدقة وفهم عميق للعلاقات الرياضية المتورطة.