حل مسألة رياضية: قيمة متغير بواسطة دوال (مسألة رياضيات)

إذا كان $a > 0$ و $f(g(a)) = 8$، حيث $f(x) = x^2 + 8$ و $g(x) = x^2 – 4$، فما قيمة $a$؟

لنبدأ بحل المسألة:

نعرف أن $f(g(a)) = 8$. بما أن $g(x) = x^2 – 4$، فإن $g(a) = a^2 – 4$.

ونعلم أيضًا أن $f(x) = x^2 + 8$، لذا $f(g(a)) = (g(a))^2 + 8$.

نستبدل قيمة $g(a)$ بالتعبير الذي تمثله، ونحصل على:

$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

الآن، لنحل المعادلة:

$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

نقوم بإزالة الثمانيات من الجانبين:

$(a^2 – 4)^2 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب الجذر التربيعي:

$a^2 – 4 = 0$

من هنا، نقوم بإضافة 4 إلى الطرفين:

$a^2 = 4$

ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين، مع الأخذ في الاعتبار أنه يجب أن يكون الجذر إيجابيًا لأن $a > 0$:

$a = \sqrt{4}$

$a = 2$

إذاً، قيمة $a$ هي 2.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى فهم الدوال وتطبيق القوانين الرياضية المناسبة. سنبدأ بتحليل الوضع واستخدام القوانين التالية:

1. تعريف الدوال:

   • $f(x) = x^2 + 8$: هذه الدالة تأخذ أي عدد حقيقي $x$ وترجع قيمة $x^2 + 8$.
   • $g(x) = x^2 – 4$: هذه الدالة تأخذ أي عدد حقيقي $x$ وترجع قيمة $x^2 – 4$.

2. تركيب الدوال:

   • $f(g(a))$: هذا يعني أننا نأخذ قيمة $a$ ونضعها في دالة $g(x)$ ثم نأخذ الناتج ونضعه في دالة $f(x)$.

3. القانون الأساسي:

   • لحل $f(g(a)) = 8$، نستبدل $g(a)$ في دالة $f(x)$ ثم نحل المعادلة الناتجة.

الآن، لنبدأ في حل المسألة:

نعلم أن $f(g(a)) = 8$. بما أن $g(x) = x^2 – 4$، فإن $g(a) = a^2 – 4$.

ونعلم أيضًا أن $f(x) = x^2 + 8$، لذا $f(g(a)) = (g(a))^2 + 8$.

نستبدل قيمة $g(a)$ بالتعبير الذي تمثله، ونحصل على:

$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

الآن، لنقم بحل المعادلة:

$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

نقوم بإزالة الثمانيات من الجانبين:

$(a^2 – 4)^2 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب الجذر التربيعي:

$a^2 – 4 = 0$

من هنا، نقوم بإضافة 4 إلى الطرفين:

$a^2 = 4$

ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين، مع الأخذ في الاعتبار أنه يجب أن يكون الجذر إيجابيًا لأن $a > 0$:

$a = \sqrt{4}$

$a = 2$

إذاً، قيمة $a$ هي 2.

القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر مثل خوارزمية التعويض وخواص الأسس والجذور التربيعية.