حل مسألة رياضية: قيمة المتغير c (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية هي $4x + 7y + c = 0$. إذا كان مجموع نقط تقاطع محور x ونقط تقاطع محور y يساوي 22، فما هو قيمة المتغير c؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة كيفية حساب نقاط التقاطع مع المحورين. يتم حساب نقطة تقاطع محور x (النقطة حيث يتقاطع الخط مع محور x) عندما يكون y يساوي صفر. بالمثل، يتم حساب نقطة تقاطع محور y (النقطة حيث يتقاطع الخط مع محور y) عندما يكون x يساوي صفر.

لنقم بحساب نقطة التقاطع مع محور x:
$4x + 7(0) + c = 0$
$4x + c = 0$
$4x = -c$
$x = -\frac{c}{4}$

الآن، لنقم بحساب نقطة التقاطع مع محور y:
$4(0) + 7y + c = 0$
$7y + c = 0$
$y = -\frac{c}{7}$

الآن، نعلم أن مجموع نقط التقاطع هو 22. لذا:
$-\frac{c}{4} – \frac{c}{7} = 22$

لحساب قيمة c، نضرب كل جانب في 28 (المضاعف المشترك لـ 4 و 7):
$-7c – 4c = 22 \times 28$
$-11c = 616$

الآن، نقسم على -11 للحصول على قيمة c:
$c = \frac{616}{-11}$

بتبسيط الكسر:
$c = -56$

إذاً، قيمة المتغير c هي -56.

لنحل هذه المسألة بشكل مفصل، سنبدأ باستخدام خصائص نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.

المعادلة الرياضية التي نعمل بها هي: $4x + 7y + c = 0$

أولاً، سنحسب نقطة التقاطع مع محور $x$ عندما $y = 0$. نضع $y$ بدلاً من $0$ في المعادلة:
$4x + 7(0) + c = 0$

هذا يؤدي إلى:
$4x + c = 0$

ثم نحل لـ $x$:
$4x = -c$
$x = -\frac{c}{4}$

ثانياً، سنحسب نقطة التقاطع مع محور $y$ عندما $x = 0$. نضع $x$ بدلاً من $0$ في المعادلة:
$4(0) + 7y + c = 0$

هذا يؤدي إلى:
$7y + c = 0$

ثم نحل لـ $y$:
$y = -\frac{c}{7}$

الآن، لأن مجموع نقاط التقاطع مع محور $x$ ومحور $y$ هو $22$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$-\frac{c}{4} – \frac{c}{7} = 22$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام العمليات الجبرية. نضرب كل جانب في 28 (المضاعف المشترك لـ $4$ و $7$) لتجنب الكسور:
$-7c – 4c = 22 \times 28$
$-11c = 616$

الآن، نقسم على -11 للحصول على قيمة $c$:
$c = \frac{616}{-11}$

بتبسيط الكسر:
$c = -56$

قوانين الجبر المستخدمة هي:

1. قانون النقاط التقاطع مع محور $x$ عند $y = 0$.
2. قانون النقاط التقاطع مع محور $y$ عند $x = 0$.
3. معالجة الكسور بالضرب لتجنبها وتسهيل الحسابات.

هذه القوانين تستند إلى الفهم الجبري لنقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات والعمليات الجبرية الأساسية.